华中师范大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
二．解答如下问题：
（1）设 $L$ 为常数，$\displaystyle \left\{y_{n}\right\}$ 是严格递增的正无穷大数列，且与数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 一起满足 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_{n+1}-x_{n}}{y_{n+1}-y_{n}}=L$ ．证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_{n}}{y_{n}}=L$ ．
（2）设 $\displaystyle a_{1}=\sin a>0, a_{n+1}=\sin a_{n}(n=1,2, \cdots)$ ，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n a_{n}^{2}}=\frac{1}{3}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：分析第一问条件，明确使用Stolz定理的思路
已知数列 $\{y_n\}$ 严格递增且趋于正无穷，且极限 $\lim_{n\to\infty} \frac{x_{n+1}-x_n}{y_{n+1}-y_n}=L$ 存在。要证明 $\lim_{n\to\infty} \frac{x_n}{y_n}=L$。这是Stolz定理的典型形式，我们通过极限定义直接推导。
公式：$$\lim_{n\to\infty} \frac{x_{n+1}-x_n}{y_{n+1}-y_n}=L$$
提示：注意 $y_{n+1}-y_n>0$，可以乘到不等式两边。
步骤 2/8
目标：利用极限定义进行不等式放缩
对任意 $\varepsilon>0$，存在 $N$，当 $n\ge N$ 时，有 $$L-\varepsilon < \frac{x_{n+1}-x_n}{y_{n+1}-y_n} < L+\varepsilon$$ 因为 $y_{n+1}-y_n>0$，乘以分母得：$$(L-\varepsilon)(y_{n+1}-y_n) < x_{n+1}-x_n < (L+\varepsilon)(y_{n+1}-y_n)$$
公式：$$(L-\varepsilon)(y_{n+1}-y_n) < x_{n+1}-x_n < (L+\varepsilon)(y_{n+1}-y_n)$$
提示：注意不等号方向不变，因为分母为正。
步骤 3/8
目标：对不等式从N到n-1求和
对 $k=N,N+1,\dots,n-1$ 求和，左边和右边分别累加，得到：$$(L-\varepsilon)(y_n-y_N) < x_n-x_N < (L+\varepsilon)(y_n-y_N)$$ 这里利用了裂项相消：$\sum_{k=N}^{n-1}(y_{k+1}-y_k)=y_n-y_N$，对 $x$ 同理。
公式：$$(L-\varepsilon)(y_n-y_N) < x_n-x_N < (L+\varepsilon)(y_n-y_N)$$
提示：求和时注意下标范围，不要遗漏项。
步骤 4/8
目标：除以y_n并取极限
将不等式两边除以 $y_n>0$（当 $n$ 充分大时 $y_n>0$），得：$$(L-\varepsilon)\left(1-\frac{y_N}{y_n}\right)+\frac{x_N}{y_n} < \frac{x_n}{y_n} < (L+\varepsilon)\left(1-\frac{y_N}{y_n}\right)+\frac{x_N}{y_n}$$ 由于 $y_n\to\infty$，当 $n$ 足够大时，$\frac{y_N}{y_n}$ 和 $\frac{x_N}{y_n}$ 可以任意小。因此存在 $N'$，当 $n>N'$ 时，$$L-2\varepsilon < \frac{x_n}{y_n} < L+2\varepsilon$$ 由极限定义即得结论。
公式：$$\lim_{n\to\infty} \frac{x_n}{y_n}=L$$
提示：注意 $\frac{x_N}{y_n}\to 0$ 是因为 $x_N$ 是常数，$y_n\to\infty$。
步骤 5/8
目标：分析第二问数列的单调性与极限
已知 $a_1=\sin a>0$，且 $a_{n+1}=\sin a_n$。由于 $0
公式：$$\lim_{n\to\infty} a_n=0$$
提示：注意 $a_1$ 可能大于1吗？实际上 $\sin a$ 最大为1，所以 $a_1\le 1$。
步骤 6/8
目标：利用等价无穷小展开递推关系
当 $x\to 0$ 时，$\sin x = x - \frac{x^3}{6} + O(x^5)$。代入递推式得：$$a_{n+1}=a_n - \frac{a_n^3}{6} + o(a_n^3)$$ 进一步计算 $a_{n+1}^2$：$$a_{n+1}^2 = a_n^2 - \frac{a_n^4}{3} + o(a_n^4)$$
公式：$$a_{n+1}=a_n - \frac{a_n^3}{6} + o(a_n^3)$$
提示：展开时注意保留到 $a_n^4$ 项，因为后面需要计算 $a_n^2 - a_{n+1}^2$。
步骤 7/8
目标：计算倒数平方的差
考虑 $\frac{1}{a_{n+1}^2} - \frac{1}{a_n^2} = \frac{a_n^2 - a_{n+1}^2}{a_n^2 a_{n+1}^2}$。由上一结果，$a_n^2 - a_{n+1}^2 = \frac{a_n^4}{3} + o(a_n^4)$，分母 $a_n^2 a_{n+1}^2 \sim a_n^4$，因此：$$\frac{1}{a_{n+1}^2} - \frac{1}{a_n^2} \to \frac{1}{3}$$
公式：$$\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{a_{n+1}^2} - \frac{1}{a_n^2}\right)=\frac{1}{3}$$
提示：注意 $a_{n+1}\sim a_n$，所以分母近似为 $a_n^4$。
步骤 8/8
目标：应用Stolz定理得到最终结果
令 $x_n = \frac{1}{a_n^2}$，$y_n = n$，则 $\frac{x_{n+1}-x_n}{y_{n+1}-y_n} = \frac{1}{a_{n+1}^2} - \frac{1}{a_n^2} \to \frac{1}{3}$。由第一问结论（Stolz定理），得：$$\lim_{n\to\infty} \frac{x_n}{y_n} = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n a_n^2} = \frac{1}{3}$$
公式：$$\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n a_n^2} = \frac{1}{3}$$
提示：验证 $y_n=n$ 严格递增趋于无穷，满足Stolz定理条件。
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