华中师范大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
三．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上可导， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow a^{+}} f^{\prime}(x)$ 与 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow b^{-}} f^{\prime}(x)$ 均存在．证明：
（1）$\displaystyle f(a+0)$ 和 $\displaystyle f(b-0)$ 都存在．
（2）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上有界，且一致连续．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：证明 f(a+0) 存在
已知 $\lim_{x \to a^+} f'(x)$ 存在，记该极限为 $A$。由极限定义，取 $\varepsilon = 1$，存在 $\eta > 0$，使得当 $a < t < a+\eta$ 时，有 $|f'(t) - A| < 1$，从而 $|f'(t)| \leq |A| + 1$，即导数在 $a$ 的右邻域内有界。
任取两点 $x_1, x_2$ 满足 $a < x_1 < x_2 < a+\eta$，由拉格朗日中值定理，存在 $\xi \in (x_1, x_2)$ 使得
$$f(x_2) - f(x_1) = f'(\xi)(x_2 - x_1).$$
于是
$$|f(x_2) - f(x_1)| \leq (|A|+1)|x_2 - x_1|.$$
当 $x_1, x_2 \to a^+$ 时，$|x_2 - x_1| \to 0$，故 $|f(x_2)-f(x_1)| \to 0$。由柯西收敛准则，极限 $\lim_{x \to a^+} f(x)$ 存在，记为 $f(a+0)$。
公式：$$|f(x_2)-f(x_1)| \leq (|A|+1)|x_2-x_1|$$
提示：注意中值定理要求函数在闭区间连续、开区间可导，这里 $f$ 在 $(a,b)$ 可导，故在 $[x_1,x_2]$ 上满足条件。
步骤 2/4
目标：证明 f(b-0) 存在
同理，设 $\lim_{x \to b^-} f'(x) = B$。取 $\varepsilon = 1$，存在 $\eta' > 0$，使得当 $b-\eta' < t < b$ 时，$|f'(t)-B| < 1$，从而 $|f'(t)| \leq |B|+1$。
任取 $x_1, x_2$ 满足 $b-\eta' < x_1 < x_2 < b$，由拉格朗日中值定理，存在 $\xi \in (x_1, x_2)$ 使得
$$f(x_2)-f(x_1) = f'(\xi)(x_2-x_1),$$
故
$$|f(x_2)-f(x_1)| \leq (|B|+1)|x_2-x_1|.$$
当 $x_1, x_2 \to b^-$ 时，$|x_2-x_1| \to 0$，由柯西收敛准则，极限 $\lim_{x \to b^-} f(x)$ 存在，记为 $f(b-0)$。
公式：$$|f(x_2)-f(x_1)| \leq (|B|+1)|x_2-x_1|$$
提示：与左侧对称，注意区间端点方向。
步骤 3/4
目标：证明 f(x) 在 (a,b) 上有界
由（1）知 $f(a+0)$ 和 $f(b-0)$ 均存在。构造辅助函数 $F(x)$ 如下：
$$F(x) = \begin{cases} f(a+0), & x = a, \\ f(x), & a < x < b, \\ f(b-0), & x = b. \end{cases}$$
由于 $f$ 在 $(a,b)$ 内连续（可导必连续），且端点处极限存在，故 $F(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续。由闭区间上连续函数的性质，$F(x)$ 在 $[a,b]$ 上有界，从而 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 上有界。
公式：$$F(x) = \begin{cases} f(a+0), & x=a, \\ f(x), & a
提示：补充端点定义后，函数在闭区间连续是关键，注意端点值由极限定义。
步骤 4/4
目标：证明 f(x) 在 (a,b) 上一致连续
由第三步构造的 $F(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续，根据康托定理（一致连续性定理），$F(x)$ 在 $[a,b]$ 上一致连续。即：对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $\delta > 0$，使得对任意 $x_1, x_2 \in [a,b]$，只要 $|x_1 - x_2| < \delta$，就有 $|F(x_1) - F(x_2)| < \varepsilon$。
特别地，当 $x_1, x_2 \in (a,b)$ 时，$F(x_i) = f(x_i)$，因此对任意 $x_1, x_2 \in (a,b)$，只要 $|x_1 - x_2| < \delta$，就有 $|f(x_1) - f(x_2)| < \varepsilon$。这正是 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 上一致连续的定义。
公式：$$\forall \varepsilon>0, \exists \delta>0, \forall x_1,x_2\in(a,b), |x_1-x_2|<\delta \Rightarrow |f(x_1)-f(x_2)|<\varepsilon$$
提示：一致连续性依赖于闭区间上连续函数的性质，注意这里 $\delta$ 只与 $\varepsilon$ 有关，与具体点无关。
步骤 5/5
目标：证明 f(x) 在 (a,b) 上一致连续
由于 $F(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续，从而一致连续。而一致连续性在子区间上保持，因此 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 上一致连续。
公式：\forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0, \forall x,y \in (a,b), |x-y| < \delta \Rightarrow |f(x)-f(y)| < \varepsilon
提示：一致连续是整体性质，闭区间上的连续函数一定一致连续（Cantor 定理）。
步骤 6/7
目标：证明一致连续性：中间部分
在闭区间 $[a+\delta_1/2, b-\delta_2/2]$ 上，$f(x)$ 连续，从而一致连续，存在 $\eta_3>0$，使得当 $x_1, x_2 \in [a+\delta_1/2, b-\delta_2/2]$ 且 $|x_1-x_2|<\eta_3$ 时，$|f(x_1)-f(x_2)| < \varepsilon$。
公式：闭区间上连续函数一致连续定理
提示：注意区间端点取内点，确保与邻域重叠。
步骤 7/7
目标：综合得到一致连续性
取 $\eta = \min\{\eta_1, \eta_2, \eta_3, \delta_1/2, \delta_2/2\}$。对任意 $x_1, x_2 \in (a,b)$ 且 $|x_1-x_2|<\eta$，分情况讨论：
- 若 $x_1, x_2$ 同属于 $(a, a+\delta_1)$ 或 $(b-\delta_2, b)$ 或 $[a+\delta_1/2, b-\delta_2/2]$，则显然有 $|f(x_1)-f(x_2)|<\varepsilon$。
- 若 $x_1 \in (a, a+\delta_1/2)$，$x_2 \in [a+\delta_1/2, a+\delta_1)$，则 $|x_1-x_2|<\eta \leq \delta_1/2$，且 $x_1, x_2 \in (a, a+\delta_1)$，故 $|f(x_1)-f(x_2)|<\varepsilon$。
- 其他跨区间情况类似可证。
因此 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 上一致连续。
提示：注意 $\eta$ 的选取要保证跨区间时两点仍落在同一邻域内。
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