华中师范大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
十．设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上有界且连续，若对任意的 $\displaystyle c \in \mathbb{R}$ ，函数 $\displaystyle f(x)-c$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上至多有有限个零点，证明： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 存在．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：整理已知条件并明确目标
已知函数 $f(x)$ 在 $(0, +\infty)$ 上连续且有界，即存在实数 $m, M$ 使得对任意 $x > 0$ 有 $m \leq f(x) \leq M$。此外，对任意实数 $c$，方程 $f(x) = c$ 在 $(0, +\infty)$ 上至多只有有限个解。需要证明 $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ 存在。
公式：$m \leq f(x) \leq M$
提示：注意有界性和零点有限性是两个核心条件，后续推理中需要同时使用。
步骤 2/5
目标：假设极限不存在，导出两个不同极限的子列
采用反证法。假设 $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ 不存在。由于 $f(x)$ 有界，由 Bolzano-Weierstrass 定理，存在两个不同的数列 $x_n \to +\infty$ 和 $y_n \to +\infty$，使得 $\lim_{n \to \infty} f(x_n) = a$，$\lim_{n \to \infty} f(y_n) = b$，且 $a \neq b$。不妨设 $a < b$。
公式：$\lim_{n \to \infty} f(x_n) = a,\quad \lim_{n \to \infty} f(y_n) = b,\quad a < b$
提示：这里利用了有界数列必有收敛子列的性质，但要注意两个子列极限不同才能推出矛盾。
步骤 3/5
目标：利用极限定义构造中间值
取 $\epsilon = \frac{b-a}{3} > 0$。由极限定义，存在 $N_1$ 使得当 $n > N_1$ 时，$|f(x_n) - a| < \epsilon$，即 $f(x_n) < a + \epsilon$。存在 $N_2$ 使得当 $n > N_2$ 时，$|f(y_n) - b| < \epsilon$，即 $f(y_n) > b - \epsilon$。由于 $b - a = 3\epsilon$，有 $a + \epsilon < b - \epsilon$。
公式：$a + \epsilon < b - \epsilon,\quad \epsilon = \frac{b-a}{3}$
提示：注意 $\epsilon$ 的选取要保证 $a+\epsilon$ 和 $b-\epsilon$ 之间有空隙，以便插入中间值 $c$。
步骤 4/5
目标：通过介值定理得到无限多个零点
取 $c = \frac{a+b}{2}$，则 $a+\epsilon < c < b-\epsilon$。选取子列使得 $x_n < y_n < x_{n+1}$（可通过适当调整下标实现）。对足够大的 $n$，有 $f(x_n) < c < f(y_n)$。由于 $f$ 连续，由介值定理，存在 $z_n$ 介于 $x_n$ 与 $y_n$ 之间，使得 $f(z_n) = c$。这些 $z_n$ 互不相同且趋于 $+\infty$，因此方程 $f(x)=c$ 有无限多个解，与题设“至多有限个零点”矛盾。
公式：$f(z_n) = c,\quad z_n \to +\infty$
提示：关键在于确保 $z_n$ 是无限多个且互不相同，这需要子列选取时保证区间不重叠。
步骤 5/5
目标：得出矛盾并完成证明
上述矛盾表明假设不成立，因此 $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ 必须存在。
提示：反证法证明的关键是构造出与条件矛盾的无限零点。
步骤 6/6
目标：得出结论：上下极限相等，极限存在
反证假设 $L < M$ 导致矛盾，故必有 $L = M$。由上下极限相等，可知 $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ 存在且等于 $L = M$。
公式：\lim_{x \to +\infty} f(x) = L = M
提示：极限存在的充要条件是上极限等于下极限。
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