华中师范大学 2026年数学分析第0题

对任意 $x_0 \in [a, b]$，由 $\lim_{x \to x_0} f(x) = 0$，取 $\varepsilon = 1$，则存在 $\delta(x_0) > 0$，使得当 $0 < |x - x_0| < \delta(x_0)$ 时，有 $|f(x)| < 1$。考虑开区间 $U_{x_0} = (x_0 - \delta(x_0), x_0 + \delta(x_0))$，则在此区间内，除 $x_0$ 外 $|f(x)| < 1$，而 $f(x_0)$ 为有限值，故 $f$ 在 $U_{x_0}$ 上有界（例如界为 $\max\{1, |f(x_0)|\}$）。所有这样的开区间覆盖闭区间 $[a, b]$，由有限覆盖定理，存在有限个开区间覆盖 $[a, b]$，每个区间上有界，故 $f$ 在 $[a, b]$ 上有界。

反证法。假设存在 $\varepsilon_0 > 0$，使得满足 $|f(x)| \geq \varepsilon_0$ 的点有无穷多个。记这些点的集合为 $S$，则 $S$ 是 $[a, b]$ 上的无穷点集。由 Bolzano-Weierstrass 定理，$S$ 必有聚点 $x_0 \in [a, b]$。于是存在互不相同的点列 $\{x_n\} \subset S$，$x_n \to x_0$，且 $|f(x_n)| \geq \varepsilon_0$。但由题设 $\lim_{x \to x_0} f(x) = 0$，则对 $\varepsilon_0 > 0$，存在 $\delta > 0$，当 $0 < |x - x_0| < \delta$ 时 $|f(x)| < \varepsilon_0$，这与 $x_n$ 充分接近 $x_0$ 时 $|f(x_n)| \geq \varepsilon_0$ 矛盾。故假设不成立，满足条件的点至多有限个。

由（1）知 $f$ 有界，设 $M = \sup_{x \in [a,b]} |f(x)|$。对任意 $\eta > 0$，取 $\varepsilon = \frac{\eta}{2(b-a)}$。由（2），使得 $|f(x)| \geq \varepsilon$ 的点只有有限个，设为 $x_1, x_2, \dots, x_m$。构造分割：用小区间分别覆盖这些点，每个小区间长度 $\delta_i$ 满足 $\sum_{i=1}^m \delta_i < \frac{\eta}{2M}$。在其余部分，$|f(x)| < \varepsilon$，故振幅 $\leq 2\varepsilon$。于是总振幅和（上和减下和）$\leq 2M \cdot \frac{\eta}{2M} + 2\varepsilon (b-a) = \frac{\eta}{2} + \frac{\eta}{2} = \eta$。由 Riemann 可积判别法，$f$ 在 $[a,b]$ 上可积。

由于 $f$ 可积，考虑任意分割 $P$ 和 Riemann 和 $S(P, f)$。对任意 $\varepsilon > 0$，由（2），只有有限个点 $x$ 满足 $|f(x)| \geq \varepsilon$。取分割足够细，使得这些点所在的小区间总长度任意小（例如小于 $\varepsilon$），且在这些小区间上 $|f(x)| \leq M$，其余区间上 $|f(x)| < \varepsilon$。则 Riemann 和的绝对值 $|S(P, f)| \leq M \cdot (\text{坏区间总长}) + \varepsilon \cdot (b-a)$。令分割加细，坏区间总长趋于 0，则 $|S(P, f)|$ 可任意小，故 $\int_a^b f(x) dx = 0$。