华南理工大学 2022年数学分析第0题
📝 题目
一、求幂级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{2 n}}{2 n}$ 的逐项求导后的级数的收敛域，并求级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{2 n}}{2 n}$ 的和．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：写出原级数并求收敛半径
原级数为 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{2n}}{2n}$。令 $t = x^2$，则级数变为 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{t^n}{2n}$。用比值法求关于 $t$ 的收敛半径：$\lim_{n\to\infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \lim_{n\to\infty} \frac{1/(2(n+1))}{1/(2n)} = \lim_{n\to\infty} \frac{n}{n+1} = 1$，所以关于 $t$ 的收敛半径为 $1$。由 $t = x^2$ 得 $|x^2| < 1$，即 $|x| < 1$ 时收敛。在端点 $x = \pm 1$ 处，级数为 $\sum \frac{1}{2n}$ 发散（调和级数），故原级数的收敛域为 $(-1, 1)$。
公式：$\lim_{n\to\infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = 1$，收敛半径 $R=1$
提示：注意原级数只有偶次项，通过变量代换 $t=x^2$ 转化为标准幂级数形式，端点需单独判断。
步骤 2/5
目标：对原级数逐项求导得到新级数
对原级数逐项求导：$\frac{d}{dx} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{2n}}{2n} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2n x^{2n-1}}{2n} = \sum_{n=1}^{\infty} x^{2n-1}$。这是一个几何级数，首项为 $x$（$n=1$ 时），公比为 $x^2$，即 $x + x^3 + x^5 + \cdots$。
公式：$\frac{d}{dx} \left( \frac{x^{2n}}{2n} \right) = x^{2n-1}$
提示：逐项求导时注意系数约简，得到简洁的几何级数形式。
步骤 3/5
目标：求导后级数的收敛域
逐项求导后的级数为 $\sum_{n=1}^{\infty} x^{2n-1} = x \sum_{n=0}^{\infty} (x^2)^n$。几何级数 $\sum_{n=0}^{\infty} (x^2)^n$ 当 $|x^2| < 1$ 即 $|x| < 1$ 时收敛。在端点 $x = \pm 1$ 时，级数变为 $\pm(1+1+1+\cdots)$ 发散。因此收敛域为 $(-1, 1)$。
公式：$\sum_{n=0}^{\infty} (x^2)^n = \frac{1}{1-x^2}$ 当 $|x|<1$
提示：逐项求导不改变收敛区间内部的开区间，但端点需重新判断，此处端点仍发散。
步骤 4/5
目标：求原级数的和函数
在 $|x|<1$ 时，逐项求导后的级数和为 $\sum_{n=1}^{\infty} x^{2n-1} = \frac{x}{1-x^2}$（首项 $x$，公比 $x^2$ 的无穷等比数列求和）。设原级数的和函数为 $S(x)$，则 $S'(x) = \frac{x}{1-x^2}$。积分得 $S(x) = \int \frac{x}{1-x^2} dx$。令 $u = 1-x^2$，则 $du = -2x dx$，$x dx = -\frac{1}{2} du$，于是 $\int \frac{x}{1-x^2} dx = \int \frac{1}{u} \left(-\frac{1}{2}\right) du = -\frac{1}{2} \ln|u| + C = -\frac{1}{2} \ln(1-x^2) + C$（$|x|<1$ 时 $1-x^2>0$，绝对值可去掉）。由原级数在 $x=0$ 时值为 $0$，代入得 $S(0) = -\frac{1}{2}\ln(1) + C = C = 0$，所以 $S(x) = -\frac{1}{2} \ln(1-x^2)$。
公式：$S'(x) = \frac{x}{1-x^2}$，$S(x) = -\frac{1}{2}\ln(1-x^2)$
提示：积分时注意常数项由 $S(0)=0$ 确定，且 $|x|<1$ 保证对数定义。
步骤 5/5
目标：给出最终答案
逐项求导后的级数收敛域为 $(-1,1)$；原级数的和函数为 $S(x) = -\frac{1}{2}\ln(1-x^2)$，其中 $|x|<1$。
公式：$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{2n}}{2n} = -\frac{1}{2}\ln(1-x^2)$，$|x|<1$
提示：最终答案需明确收敛域和和函数表达式。
步骤 6/6
目标：总结答案
逐项求导后的级数收敛域为 $(-1,1)$；原级数的和函数为 $S(x)=-\frac{1}{2}\ln(1-x^2)$，其中 $|x|<1$。
公式：收敛域：$(-1,1)$；和函数：$-\frac{1}{2}\ln(1-x^2)$
提示：最终答案需明确写出收敛域和和函数表达式。
步骤 7/7
目标：写出和函数
综上所述，在 $|x|<1$ 内，$S(x) = -\frac{1}{2} \ln(1-x^2)$。
公式：$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{2n}}{2n} = -\frac{1}{2} \ln(1-x^2)$
提示：注意定义域为 $(-1,1)$，不包括端点。
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