📝 华南理工大学 2022年数学分析真题

一、求幂级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{2 n}}{2 n}$ 的逐项求导后的级数的收敛域，并求级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{2 n}}{2 n}$ 的和．

七、利用 $\displaystyle x^{2} y^{3} z$ 在 $\displaystyle x+y+z=k(x, y, z>0, k>0)$ 下的极值证明：$\displaystyle x^{2} y^{3} z \leq \frac{(x+y+z)^{6}}{432}$ ．

三、求 $\displaystyle \int_{\overparen{A B}}\left(e^{x} \sin y-2 y\right) \mathrm{d} x+\left(e^{x} \cos y-2\right) \mathrm{d} y$ ，其中 $\displaystyle A B$ 为由 $\displaystyle (a, 0)$ 到 $\displaystyle (0,0)$ 经过圆 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=a x$ 上半部分的路线．

九、已知函数 $\displaystyle f(x)$ 是定义在 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上，且

$$
f\left(x_{1}+x_{2}\right)=f\left(x_{1}\right) f\left(x_{2}\right),
$$

若 $\displaystyle f^{\prime}(0)=1$ ，证明：$\displaystyle f^{\prime}(x)=f(x)$ ．

二、求由曲线 $\displaystyle y=\cos x\left(0 \leq x \leq \frac{\pi}{2}\right), x=0, y=0$ 所围成的图形分别绕 $x$ 轴、 $y$ 轴旋转所围成立体的体积．

五、求 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+2 z=16$ 将 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}-8 z \leq 0$ 所划成两部分的面积．

八、已知 $\displaystyle f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\ln \left(e^{n}+x^{n}\right)}{n}(x>0)$ ，
（1）求 $\displaystyle f(x)$ 的解析式；
（2）判断 $\displaystyle f(x)$ 在其定义域内是否连续．

六、已知 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x=u+v \\ y=u^{2}+v^{2} \\ z=u^{3}+v^{3}\end{array}\right.$ ，确定了隐函数 $\displaystyle z(x, y)$ ，求全微分 $\displaystyle \mathrm{d} z$ ．

十、已知 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上可导，若 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x), \lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)$都存在，求证 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)=0$ ．

十一、已知 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上连续且无穷积分 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛，证明：存在严格增大的 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\} \subset[a,+\infty)$ 满足

$$
\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=+\infty \text { 且 } \lim _{n \rightarrow \infty} f\left(x_{n}\right)=0 \text {. }
$$

四、将 $\displaystyle f(x)=x$ 在 $\displaystyle [-\pi, \pi]$ 上展开为傅里叶级数并求和函数，并求 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{2 n-1}$ 的和．