华南理工大学 2022年数学分析第0题
📝 题目
十一、已知 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上连续且无穷积分 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛，证明：存在严格增大的 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\} \subset[a,+\infty)$ 满足
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\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=+\infty \text { 且 } \lim _{n \rightarrow \infty} f\left(x_{n}\right)=0 \text {. }
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💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：理解已知条件并明确目标
已知 $f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上连续，且无穷积分 $\int_a^{+\infty} f(x) \, dx$ 收敛。要证明存在严格递增的数列 $\{x_n\} \subset [a,+\infty)$，满足 $\lim_{n\to\infty} x_n = +\infty$ 且 $\lim_{n\to\infty} f(x_n) = 0$。
公式：$\lim_{b\to+\infty} \int_a^b f(x)\,dx$ 存在且有限。
提示：注意积分收敛的定义是极限存在且有限，这是后续推理的基础。
步骤 2/6
目标：应用柯西收敛准则
由无穷积分收敛的柯西准则：对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $A > a$，使得当 $t_2 > t_1 > A$ 时，有 $\left| \int_{t_1}^{t_2} f(x) \, dx \right| < \varepsilon$。
公式：$\forall \varepsilon>0,\ \exists A>a,\ \forall t_2>t_1>A:\ \left|\int_{t_1}^{t_2} f(x)\,dx\right|<\varepsilon$
提示：柯西准则是处理积分收敛性的重要工具，注意这里的 $\varepsilon$ 可以取任意小的正数。
步骤 3/6
目标：构造数列的初步想法
取 $\varepsilon_n = 1/n^2$，对每个 $n \in \mathbb{N}^+$，存在 $A_n > a$，使得当 $t_2 > t_1 > A_n$ 时，$\left| \int_{t_1}^{t_2} f(x) \, dx \right| < 1/n^2$。我们希望在大于 $A_n$ 的某点 $x_n$ 处有 $|f(x_n)| \leq 1/n$。
公式：$\forall n,\ \exists A_n,\ \forall t_2>t_1>A_n:\ \left|\int_{t_1}^{t_2} f(x)\,dx\right|<\frac{1}{n^2}$
提示：这里选择 $1/n^2$ 是为了后续用反证法得到矛盾时，积分增量可以控制。
步骤 4/6
目标：反证法证明存在点使得函数值很小
固定 $n$，假设对所有 $x > A_n$ 都有 $|f(x)| > 1/n$。由连续性，$f(x)$ 在 $(A_n, +\infty)$ 上不变号（否则由介值定理会有点使 $|f(x)|=0$，矛盾）。不妨设 $f(x) > 1/n$（负的情况类似）。则对任意 $L > 0$，有 $\int_{A_n}^{A_n+L} f(x)\,dx > \frac{L}{n}$。取 $L = n$，则积分 $> 1$，但由柯西条件，当 $t_1=A_n,\ t_2=A_n+n$ 时，积分绝对值应小于 $1/n^2$，矛盾（当 $n\geq 2$ 时 $1 > 1/n^2$）。因此假设不成立，存在 $x_n > A_n$ 使得 $|f(x_n)| \leq 1/n$。
公式：$\exists x_n > A_n,\ |f(x_n)| \leq \frac{1}{n}$
提示：注意连续性保证了函数在区间上不变号，否则可能通过介值定理找到零点，但零点处函数值为0，直接满足条件。这里反证法假设了所有点函数值绝对值都大于 $1/n$，从而推出矛盾。
步骤 5/6
目标：构造严格递增且趋于无穷的数列
令 $x_1$ 为满足 $x_1 > A_1$ 且 $|f(x_1)| \leq 1$ 的点。然后取 $A_2' = \max\{A_2, x_1+1\}$，由上述论证存在 $x_2 > A_2'$ 使得 $|f(x_2)| \leq 1/2$。一般地，取 $A_n' = \max\{A_n, x_{n-1}+1\}$，得到 $x_n > A_n'$ 且 $|f(x_n)| \leq 1/n$。这样构造的 $\{x_n\}$ 严格递增，且 $x_n \to +\infty$（因为 $x_n \geq x_{n-1}+1$）。同时 $|f(x_n)| \leq 1/n \to 0$，故 $f(x_n) \to 0$。
公式：$x_n > \max\{A_n, x_{n-1}+1\},\ |f(x_n)| \leq \frac{1}{n}$
提示：确保严格递增和趋于无穷的关键是每次取 $A_n'$ 时加上 $x_{n-1}+1$ 的条件，这样数列至少以1的速度增长。
步骤 6/6
目标：总结证明
由以上构造，我们得到了满足题目要求的数列 $\{x_n\}$，从而结论成立。
公式：$\lim_{n\to\infty} x_n = +\infty,\ \lim_{n\to\infty} f(x_n) = 0$
提示：证明的关键是利用积分收敛的柯西准则和反证法，找到函数值很小的点，并通过递推构造出所需的数列。
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