华南理工大学 2022年数学分析第0题

将曲面方程 $x^2 + y^2 + 2z = 16$ 改写为 $z = 8 - \frac{x^2 + y^2}{2}$，这是一个开口向下的旋转抛物面，顶点在 $(0,0,8)$。将不等式 $x^2 + y^2 + z^2 - 8z \le 0$ 配方得 $x^2 + y^2 + (z-4)^2 \le 16$，这是一个球心在 $(0,0,4)$、半径为 $4$ 的球体。题目要求的是抛物面被球体所截，位于球内部的那部分曲面的面积。

联立抛物面方程 $z = 8 - \frac{x^2 + y^2}{2}$ 与球面方程 $x^2 + y^2 + (z-4)^2 = 16$。代入 $z$ 得：$x^2 + y^2 + \left(8 - \frac{x^2 + y^2}{2} - 4\right)^2 = 16$。化简括号内：$8 - 4 = 4$，所以为 $4 - \frac{x^2 + y^2}{2}$。令 $r^2 = x^2 + y^2$，则方程变为 $r^2 + \left(4 - \frac{r^2}{2}\right)^2 = 16$。展开平方：$\left(4 - \frac{r^2}{2}\right)^2 = 16 - 4r^2 + \frac{r^4}{4}$。代入得 $r^2 + 16 - 4r^2 + \frac{r^4}{4} = 16$，化简为 $-3r^2 + \frac{r^4}{4} = 0$，即 $\frac{r^4}{4} - 3r^2 = 0$，因式分解得 $r^2\left(\frac{r^2}{4} - 3\right) = 0$。解得 $r^2 = 0$（对应一个点，忽略）或 $r^2 = 12$。因此交线在xy平面上的投影是半径为 $\sqrt{12} = 2\sqrt{3}$ 的圆盘。

曲面由 $z = f(x,y) = 8 - \frac{x^2 + y^2}{2}$ 给出，其面积微元为 $dS = \sqrt{1 + f_x^2 + f_y^2} \, dx\, dy$。计算偏导数：$f_x = -x$，$f_y = -y$，所以 $\sqrt{1 + f_x^2 + f_y^2} = \sqrt{1 + x^2 + y^2} = \sqrt{1 + r^2}$。在极坐标下，$dx\, dy = r\, dr\, d\theta$，积分区域 $D$ 为 $r$ 从 $0$ 到 $2\sqrt{3}$、$\theta$ 从 $0$ 到 $2\pi$ 的圆盘。因此所求面积为 $A = \iint_D \sqrt{1 + r^2} \, r\, dr\, d\theta$。

计算内层积分 $\int_0^{2\sqrt{3}} \sqrt{1+r^2} \, r\, dr$。使用换元法：令 $u = 1 + r^2$，则 $du = 2r\, dr$，即 $r\, dr = \frac{1}{2} du$。积分变为 $\int \sqrt{u} \cdot \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int u^{1/2} du = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{3/2} = \frac{1}{3} (1+r^2)^{3/2}$。代入上下限：当 $r = 2\sqrt{3}$ 时，$1+r^2 = 1+12 = 13$，值为 $\frac{1}{3} \cdot 13^{3/2} = \frac{13\sqrt{13}}{3}$；当 $r = 0$ 时，值为 $\frac{1}{3} \cdot 1 = \frac{1}{3}$。差值为 $\frac{13\sqrt{13}}{3} - \frac{1}{3} = \frac{13\sqrt{13} - 1}{3}$。

外层积分 $\int_0^{2\pi} d\theta = 2\pi$。将内层积分结果乘以外层积分结果，得 $A = 2\pi \cdot \frac{13\sqrt{13} - 1}{3} = \frac{2\pi(13\sqrt{13} - 1)}{3}$。这就是抛物面被球体所截部分曲面的面积。

整个球面面积为 $4\pi R^2 = 64\pi$，两部分面积之和为 $16\pi+16\pi=32\pi$？注意这里计算有误：实际上球冠面积公式 $2\pi R h$ 对任意高度 $h$ 均成立，但两个球冠高度之和为 $h_1+h_2=4$，正好等于直径，因此总面积应为 $2\pi R \cdot 4 = 2\pi \cdot 4 \cdot 4 = 32\pi$？不对，球面总面积是 $4\pi R^2=64\pi$，而 $2\pi R \cdot (2R)=4\pi R^2$，所以 $h_1+h_2=2R=8$ 才对。重新检查：下部高度 $h_1$ 是从球底 $z=0$ 到截面 $z=2$，球底到球心距离为4，截面到球心距离为2，所以 $h_1=4-2=2$；上部高度 $h_2$ 是从截面 $z=2$ 到球顶 $z=8$，球顶到球心距离为4，截面到球心距离为2，所以 $h_2=4+2=6$？错误！正确计算：球顶在 $z=8$，球心在 $z=4$，截面在 $z=2$，则上部高度为 $8-2=6$，下部高度为 $2-0=2$，但球冠高度应沿球心方向量取：下部球冠对应球心下方从 $-4$ 到 $-2$，高度2；上部球冠对应球心上方从 $-2$ 到 $+4$，高度6。因此 $S_{\text{下}}=2\pi\cdot4\cdot2=16\pi$，$S_{\text{上}}=2\pi\cdot4\cdot6=48\pi$，总和 $64\pi$ 正确。