华南理工大学 2022年数学分析第0题
📝 题目
八、已知 $\displaystyle f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\ln \left(e^{n}+x^{n}\right)}{n}(x>0)$ ，
（1）求 $\displaystyle f(x)$ 的解析式；
（2）判断 $\displaystyle f(x)$ 在其定义域内是否连续．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：分析极限表达式的结构
给定函数 $f(x)=\lim_{n\to\infty}\frac{\ln(e^n+x^n)}{n}$，其中 $x>0$。由于 $n\to\infty$ 时指数函数增长迅速，需要根据 $x$ 与 $e$ 的大小关系分情况讨论，因为 $e^n$ 和 $x^n$ 的增长速度取决于底数的大小。
公式：f(x)=\lim_{n\to\infty}\frac{\ln(e^n+x^n)}{n}
提示：注意指数函数增长快慢的比较：底数越大，增长越快。
步骤 2/6
目标：情况1：当 $0
当 $0
公式：\ln(e^n+x^n)\sim n \quad\Rightarrow\quad f(x)=1
提示：注意 $\sim$ 表示等价无穷大，此处用于提取主导项。
步骤 3/6
目标：情况2：当 $x=e$ 时求极限
当 $x=e$ 时，$e^n+x^n=e^n+e^n=2e^n$，则 $\ln(2e^n)=\ln2+n$。除以 $n$ 得 $\frac{\ln2+n}{n}=1+\frac{\ln2}{n}\to1$，所以 $f(e)=1$。
公式：\frac{\ln(2e^n)}{n}=1+\frac{\ln2}{n}\to1
提示：此处极限结果与情况1一致，说明 $x=e$ 处连续。
步骤 4/6
目标：情况3：当 $x>e$ 时求极限
当 $x>e$ 时，$x^n$ 增长更快，主导项是 $x^n$，即 $e^n+x^n\sim x^n$。于是 $\ln(e^n+x^n)\sim\ln(x^n)=n\ln x$，所以 $f(x)=\lim_{n\to\infty}\frac{n\ln x}{n}=\ln x$。
公式：\ln(e^n+x^n)\sim n\ln x \quad\Rightarrow\quad f(x)=\ln x
提示：注意 $\ln x$ 在 $x>e$ 时大于1，与情况1、2不同。
步骤 5/6
目标：综合写出 $f(x)$ 的解析式
综合三种情况，得到分段函数：当 $0e$ 时，$f(x)=\ln x$。注意在 $x=e$ 处，两种表达式都给出1，因此分段点衔接自然。
公式：f(x)=\begin{cases} 1, & 0e \end{cases}
提示：分段点 $x=e$ 处左右表达式值相等，无需单独处理。
步骤 6/6
目标：判断 $f(x)$ 在定义域内的连续性
定义域为 $(0,+\infty)$。在区间 $(0,e)$ 上，$f(x)=1$ 是常数函数，连续；在区间 $(e,+\infty)$ 上，$f(x)=\ln x$ 是初等函数，连续。在分段点 $x=e$ 处，左极限 $\lim_{x\to e^-}f(x)=1$，右极限 $\lim_{x\to e^+}f(x)=\ln e=1$，且 $f(e)=1$，因此 $f(x)$ 在 $x=e$ 处也连续。故 $f(x)$ 在整个定义域内连续。
公式：\lim_{x\to e^-}f(x)=\lim_{x\to e^+}f(x)=f(e)=1
提示：连续性判断需检查分段点处的左右极限与函数值是否相等。
步骤 7/7
目标：总结连续性结论
由于 $f(x)$ 在 $(0,e)$ 和 $(e,+\infty)$ 上连续，且在 $x=e$ 处连续，因此 $f(x)$ 在其定义域 $(0,+\infty)$ 内连续。
提示：连续性定义：函数在每一点连续，则在整个区间连续。
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