华南理工大学 2022年数学分析第0题

曲线为 $y = \cos x$，其中 $0 \le x \le \frac{\pi}{2}$，边界还有 $x=0$ 和 $y=0$。该区域是由 $x$ 轴、$y$ 轴以及余弦曲线在第一象限的部分围成的曲边三角形。当 $x=0$ 时，$y=1$；当 $x=\frac{\pi}{2}$ 时，$y=0$。

绕 $x$ 轴旋转时，在 $x$ 处的截面是半径为 $y = \cos x$ 的圆盘，厚度为 $dx$。体积微元为 $dV = \pi y^2 dx = \pi \cos^2 x \, dx$。总体积为 $V_x = \pi \int_{0}^{\pi/2} \cos^2 x \, dx$。利用恒等式 $\cos^2 x = \frac{1+\cos 2x}{2}$，得 $V_x = \pi \int_{0}^{\pi/2} \frac{1+\cos 2x}{2} dx = \frac{\pi}{2} \left[ x + \frac{\sin 2x}{2} \right]_{0}^{\pi/2}$。代入上下限：$x=\pi/2$ 时，$\frac{\pi}{2} + \frac{\sin \pi}{2} = \frac{\pi}{2}$；$x=0$ 时，$0$。所以 $V_x = \frac{\pi}{2} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi^2}{4}$。

绕 $y$ 轴旋转时，利用反函数法。由 $y = \cos x$ 在 $[0,\pi/2]$ 上单调，得反函数 $x = \arccos y$。在高度 $y$ 处，截面半径为 $x = \arccos y$，厚度为 $dy$，体积微元 $dV = \pi (\arccos y)^2 dy$，$y$ 从 $0$ 到 $1$，故 $V_y = \pi \int_{0}^{1} (\arccos y)^2 dy$。

令 $t = \arccos y$，则 $y = \cos t$，$dy = -\sin t \, dt$。当 $y=0$ 时，$t = \pi/2$；当 $y=1$ 时，$t=0$。于是 $\int_{0}^{1} (\arccos y)^2 dy = \int_{\pi/2}^{0} t^2 (-\sin t) dt = \int_{0}^{\pi/2} t^2 \sin t \, dt$。

使用分部积分：令 $u = t^2$，$dv = \sin t \, dt$，则 $du = 2t \, dt$，$v = -\cos t$。得 $\int t^2 \sin t \, dt = -t^2 \cos t + \int 2t \cos t \, dt$。再对 $\int t \cos t \, dt$ 分部积分：令 $u = t$，$dv = \cos t \, dt$，则 $du = dt$，$v = \sin t$，得 $\int t \cos t \, dt = t \sin t - \int \sin t \, dt = t \sin t + \cos t$。代回得 $\int t^2 \sin t \, dt = -t^2 \cos t + 2(t \sin t + \cos t) + C = -t^2 \cos t + 2t \sin t + 2\cos t + C$。

计算 $\int_{0}^{\pi/2} t^2 \sin t \, dt$：在 $t = \pi/2$ 处，$- (\pi/2)^2 \cdot 0 + 2(\pi/2) \cdot 1 + 2 \cdot 0 = \pi$；在 $t = 0$ 处，$-0 + 0 + 2 \cdot 1 = 2$。所以定积分值为 $\pi - 2$。因此 $V_y = \pi (\pi - 2) = \pi^2 - 2\pi$。

绕 $x$ 轴旋转体积为 $\frac{\pi^2}{4}$，绕 $y$ 轴旋转体积为 $\pi^2 - 2\pi$。

因此： $$V_y = \pi (\pi - 2) = \pi^2 - 2\pi$$ 最终答案： 绕 $x$ 轴旋转体积：$\displaystyle \frac{\pi^2}{4}$ 绕 $y$ 轴旋转体积：$\displaystyle \pi^2 - 2\pi$