华南理工大学 2022年数学分析第0题
📝 题目
三、求 $\displaystyle \int_{\overparen{A B}}\left(e^{x} \sin y-2 y\right) \mathrm{d} x+\left(e^{x} \cos y-2\right) \mathrm{d} y$ ，其中 $\displaystyle A B$ 为由 $\displaystyle (a, 0)$ 到 $\displaystyle (0,0)$ 经过圆 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=a x$ 上半部分的路线．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：检查是否为恰当微分
设 $P(x,y)=e^x\sin y-2y$，$Q(x,y)=e^x\cos y-2$。计算偏导数：$\frac{\partial P}{\partial y}=e^x\cos y-2$，$\frac{\partial Q}{\partial x}=e^x\cos y$。由于两者不相等，该积分不是恰当微分，不能直接使用势函数法，需另寻方法。
公式：$\frac{\partial P}{\partial y}=e^x\cos y-2,\quad \frac{\partial Q}{\partial x}=e^x\cos y$
提示：注意偏导数差一个常数-2，说明积分与路径有关。
步骤 2/5
目标：考虑使用格林公式，补成封闭曲线
原路径 $C_1$ 是上半圆弧从 $(a,0)$ 到 $(0,0)$。补上直线段 $C_2$ 从 $(0,0)$ 到 $(a,0)$，构成逆时针封闭回路 $C_1+C_2$。由格林公式：$\oint_{C_1+C_2} P\,dx+Q\,dy = \iint_D \left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dA$，其中 $D$ 是半圆区域 $x^2+y^2\le ax,\ y\ge 0$。
公式：$\oint_{C} P\,dx+Q\,dy = \iint_D \left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dA$
提示：注意封闭曲线的方向应为逆时针，补上的直线段方向要与原路径衔接正确。
步骤 3/5
目标：计算二重积分
计算被积函数：$\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=e^x\cos y - (e^x\cos y-2)=2$。因此二重积分为 $\iint_D 2\,dA = 2\times \text{半圆面积}$。圆 $x^2+y^2=ax$ 化为标准形式 $(x-\frac{a}{2})^2+y^2=(\frac{a}{2})^2$，半径 $R=\frac{a}{2}$，半圆面积为 $\frac{1}{2}\pi R^2 = \frac{\pi a^2}{8}$。故二重积分值为 $2\cdot \frac{\pi a^2}{8} = \frac{\pi a^2}{4}$。
公式：$\iint_D 2\,dA = 2\times \frac{1}{2}\pi\left(\frac{a}{2}\right)^2 = \frac{\pi a^2}{4}$
提示：圆的方程需先配方确定圆心和半径，半圆面积计算时注意只取上半部分。
步骤 4/5
目标：计算直线段上的积分
直线段 $C_2$ 从 $(0,0)$ 到 $(a,0)$，参数化：$y=0$，$dy=0$，$x$ 从 $0$ 到 $a$。此时 $P=e^x\sin 0-2\cdot 0=0$，$Q=e^x\cos 0-2=e^x-2$，但 $dy=0$，故 $Q\,dy=0$，整个积分为 $\int_{C_2} P\,dx+Q\,dy = 0$。
公式：$\int_{C_2} (e^x\sin y-2y)\,dx+(e^x\cos y-2)\,dy = 0$
提示：沿直线段时 $y$ 恒为0，$dy=0$，注意 $P$ 也变为0，因此积分结果为0。
步骤 5/5
目标：得出原积分结果
由格林公式：$\int_{C_1} P\,dx+Q\,dy + \int_{C_2} P\,dx+Q\,dy = \frac{\pi a^2}{4}$，代入 $\int_{C_2}=0$，得 $\int_{C_1} = \frac{\pi a^2}{4}$。原路径方向与封闭曲线方向一致，无需调整符号。
公式：$\int_{\overparen{AB}} (e^x\sin y-2y)\,dx+(e^x\cos y-2)\,dy = \frac{\pi a^2}{4}$
提示：注意格林公式中封闭曲线的方向是逆时针，此处补线后恰好满足，符号直接取正。
步骤 6/6
目标：得到所求曲线积分
由闭合回路积分等于弧段积分加直线段积分：$-\frac{\pi a^2}{4} = \int_{\overparen{AB}} + 0$，因此 $\int_{\overparen{AB}} = -\frac{\pi a^2}{4}$。
公式：$\int_{\overparen{AB}} = -\frac{\pi a^2}{4}$
提示：注意符号，最终结果为负值。
步骤 7/7
目标：得到原积分结果
由 $\int_{AB} = \oint_L - \int_{BA} = \frac{\pi a^2}{2} - 0 = \frac{\pi a^2}{2}$。
提示：注意 $\int_{BA}$ 是沿 $BA$ 方向，而 $\int_{AB}$ 是沿 $AB$ 方向，两者方向相反，但这里 $\int_{BA}=0$，所以不影响。
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