华南理工大学 2022年数学分析第0题
📝 题目
六、已知 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x=u+v \\ y=u^{2}+v^{2} \\ z=u^{3}+v^{3}\end{array}\right.$ ，确定了隐函数 $\displaystyle z(x, y)$ ，求全微分 $\displaystyle \mathrm{d} z$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：写出已知参数方程并求全微分
已知参数方程：
\[\begin{cases} x = u + v, \\ y = u^2 + v^2, \\ z = u^3 + v^3. \end{cases}\]
对每个方程求全微分，得：
\[dx = du + dv,\]
\[dy = 2u\,du + 2v\,dv,\]
\[dz = 3u^2\,du + 3v^2\,dv.\]
公式：\[dx = du + dv,\quad dy = 2u\,du + 2v\,dv,\quad dz = 3u^2\,du + 3v^2\,dv.\]
提示：注意全微分公式：若函数为多元函数，则全微分等于各偏导数乘以相应微分的和。
步骤 2/5
目标：将 du, dv 视为未知数，用 dx, dy 表示
由前两个方程得到关于 du, dv 的线性方程组：
\[\begin{cases} du + dv = dx, \\ 2u\,du + 2v\,dv = dy. \end{cases}\]
第二个方程两边除以2，得：
\[u\,du + v\,dv = \frac{dy}{2}.\]
系数矩阵的行列式为：
\[\Delta = \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ u & v \end{vmatrix} = v - u.\]
假设 \(u \neq v\)，用克莱姆法则求解：
\[du = \frac{\begin{vmatrix} dx & 1 \\ \frac{dy}{2} & v \end{vmatrix}}{v-u} = \frac{v\,dx - \frac{dy}{2}}{v-u},\]
\[dv = \frac{\begin{vmatrix} 1 & dx \\ u & \frac{dy}{2} \end{vmatrix}}{v-u} = \frac{\frac{dy}{2} - u\,dx}{v-u}.\]
公式：\[du = \frac{v\,dx - \frac{dy}{2}}{v-u},\quad dv = \frac{\frac{dy}{2} - u\,dx}{v-u}.\]
提示：使用克莱姆法则时，注意分母是系数行列式，且要保证分母不为零，即 u ≠ v。
步骤 3/5
目标：将 du, dv 代入 dz 表达式并化简
将 du, dv 代入 dz 表达式：
\[dz = 3u^2\,du + 3v^2\,dv = 3u^2\cdot\frac{v\,dx - \frac{dy}{2}}{v-u} + 3v^2\cdot\frac{\frac{dy}{2} - u\,dx}{v-u}.\]
提取公因子 \(\frac{3}{v-u}\)，合并同类项：
\[dz = \frac{3}{v-u}\left[ (u^2v - uv^2)\,dx + \left(-\frac{u^2}{2} + \frac{v^2}{2}\right)dy \right].\]
计算系数：
\[u^2v - uv^2 = uv(u-v) = -uv(v-u),\]
\[-\frac{u^2}{2} + \frac{v^2}{2} = \frac{v^2 - u^2}{2} = \frac{(v-u)(v+u)}{2}.\]
代入得：
\[dz = \frac{3}{v-u}\left[ -uv(v-u)\,dx + \frac{(v-u)(v+u)}{2}\,dy \right].\]
约去 \(v-u\)（假设 \(v-u \neq 0\)）：
\[dz = 3\left[ -uv\,dx + \frac{v+u}{2}\,dy \right].\]
公式：\[dz = 3\left[ -uv\,dx + \frac{u+v}{2}\,dy \right].\]
提示：合并同类项时注意符号，并利用因式分解简化表达式，最后约去公因子 v-u。
步骤 4/5
目标：用 x, y 表示 u+v 和 uv
已知 \(x = u+v\)，\(y = u^2+v^2\)。
利用恒等式 \(u^2+v^2 = (u+v)^2 - 2uv\)，得：
\[y = x^2 - 2uv \quad\Rightarrow\quad uv = \frac{x^2 - y}{2}.\]
同时 \(u+v = x\)。
公式：\[u+v = x,\quad uv = \frac{x^2 - y}{2}.\]
提示：注意平方和与和、积的关系，这是常见的对称式转换技巧。
步骤 5/5
目标：代入得到最终全微分 dz
将 \(uv = \frac{x^2 - y}{2}\) 和 \(u+v = x\) 代入上一步的 dz 表达式：
\[dz = 3\left[ -\frac{x^2 - y}{2}\,dx + \frac{x}{2}\,dy \right] = \frac{3}{2}\left[ -(x^2 - y)\,dx + x\,dy \right].\]
整理得：
\[dz = \frac{3}{2}(y - x^2)\,dx + \frac{3}{2}x\,dy.\]
公式：\[\boxed{\mathrm{d}z = \frac{3}{2}(y - x^{2})\,\mathrm{d}x + \frac{3}{2}x\,\mathrm{d}y}\]
提示：最终结果应表示为关于自变量 x, y 的微分形式，注意检查系数是否正确。
步骤 6/7
目标：用 x, y 表示 u+v 和 uv
由 \(x = u+v\) 得 \(u+v = x\)。
由 \(y = u^2+v^2 = (u+v)^2 - 2uv = x^2 - 2uv\)，解得：
\[ uv = \frac{x^2 - y}{2} \]
公式：\[ u+v = x,\quad uv = \frac{x^2 - y}{2} \]
提示：利用对称性简化表达式，注意平方和与和、积的关系。
步骤 7/7
目标：代入得到最终全微分形式
将 \(u+v = x\) 和 \(uv = \frac{x^2 - y}{2}\) 代入 \(dz\) 表达式：
\[ dz = -3 \cdot \frac{x^2 - y}{2}\,dx + \frac{3}{2}x\,dy \]
即：
\[ dz = -\frac{3}{2}(x^2 - y)\,dx + \frac{3}{2}x\,dy \]
也可写成：
\[ dz = \frac{3}{2} \left[ -(x^2 - y)\,dx + x\,dy \right] \]
公式：\[ \boxed{dz = -\frac{3}{2}(x^{2}-y)\,dx + \frac{3}{2}x\,dy} \]
提示：最终结果应只含自变量 \(x, y\) 及其微分，检查是否已消去中间变量。
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