华南理工大学 2022年数学分析第0题

函数 $f(x)=x$ 在 $[-\pi, \pi]$ 上是奇函数，周期延拓后仍为奇函数。对于周期为 $2\pi$ 的奇函数，傅里叶级数只有正弦项：$f(x) \sim \sum_{n=1}^{\infty} b_n \sin(nx)$，其中 $b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin(nx) \, dx$。由于被积函数为偶函数，可简化为 $b_n = \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} x \sin(nx) \, dx$。

使用分部积分法：令 $u = x$, $dv = \sin(nx) \, dx$，则 $du = dx$, $v = -\frac{1}{n} \cos(nx)$。于是： \[ \int_{0}^{\pi} x \sin(nx) \, dx = \left[ -\frac{x}{n} \cos(nx) \right]_{0}^{\pi} + \frac{1}{n} \int_{0}^{\pi} \cos(nx) \, dx \] 边界项：$-\frac{\pi}{n} \cos(n\pi) = -\frac{\pi}{n} (-1)^n$；积分项：$\frac{1}{n} \cdot \left[ \frac{\sin(nx)}{n} \right]_{0}^{\pi} = 0$。因此 $\int_{0}^{\pi} x \sin(nx) \, dx = -\frac{\pi}{n} (-1)^n = \frac{\pi (-1)^{n+1}}{n}$。代入得 $b_n = \frac{2}{\pi} \cdot \frac{\pi (-1)^{n+1}}{n} = \frac{2(-1)^{n+1}}{n}$。

在 $(-\pi, \pi)$ 内函数连续，级数收敛到 $f(x)=x$；在端点 $x=\pm\pi$ 处，级数收敛到跳跃间断点的平均值 $0$。因此傅里叶级数为： \[ x = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2(-1)^{n+1}}{n} \sin(nx), \quad x \in (-\pi, \pi) \]

取 $x = \frac{\pi}{2}$，则 $\sin\left(n \cdot \frac{\pi}{2}\right)$ 在 $n$ 为偶数时为 $0$，$n$ 为奇数时交替取 $1$ 或 $-1$。令 $n = 2k-1$（$k=1,2,\dots$），则 $\sin\left(\frac{(2k-1)\pi}{2}\right) = (-1)^{k-1}$。代入傅里叶级数： \[ \frac{\pi}{2} = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{2(-1)^{(2k-1)+1}}{2k-1} \cdot (-1)^{k-1} \] 化简 $(-1)^{(2k-1)+1} = (-1)^{2k} = 1$，得 $\frac{\pi}{2} = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{2(-1)^{k-1}}{2k-1}$。两边除以 $2$：$\frac{\pi}{4} = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k-1}}{2k-1}$。

所求级数为 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n-1}$，与上一步结果相比，$(-1)^n = -(-1)^{n-1}$。因此： \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n-1} = -\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{2n-1} = -\frac{\pi}{4} \]

将上一步等式两边除以2： \[ \frac{\pi}{4} = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k-1}}{2k-1} \] 目标级数为 \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n-1} \)，令 \( n=k \)，则 \( (-1)^n = -(-1)^{n-1} \)，所以： \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n-1} = -\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{2n-1} = -\frac{\pi}{4} \]