华南理工大学 2022年数学分析第0题

在条件 $x + y + z = k$（$x, y, z > 0$，$k > 0$）下，求函数 $f(x, y, z) = x^2 y^3 z$ 的最大值。由于约束是线性的，使用拉格朗日乘数法。

设拉格朗日函数 $L(x, y, z, \lambda) = x^2 y^3 z + \lambda (k - x - y - z)$。分别对 $x, y, z, \lambda$ 求偏导并令其为零： \[ \frac{\partial L}{\partial x} = 2x y^3 z - \lambda = 0 \quad \Rightarrow \quad \lambda = 2x y^3 z \] \[ \frac{\partial L}{\partial y} = 3x^2 y^2 z - \lambda = 0 \quad \Rightarrow \quad \lambda = 3x^2 y^2 z \] \[ \frac{\partial L}{\partial z} = x^2 y^3 - \lambda = 0 \quad \Rightarrow \quad \lambda = x^2 y^3 \] \[ \frac{\partial L}{\partial \lambda} = k - x - y - z = 0 \]

由 $\lambda = 2x y^3 z = 3x^2 y^2 z$，因为 $x, y, z > 0$，可约去 $x y^2 z$，得 $2y = 3x$，即 $y = \frac{3}{2}x$。 再由 $\lambda = 2x y^3 z = x^2 y^3$，约去 $x y^3$，得 $2z = x$，即 $z = \frac{x}{2}$。

将 $y = \frac{3}{2}x$ 和 $z = \frac{x}{2}$ 代入 $x + y + z = k$： \[ x + \frac{3}{2}x + \frac{1}{2}x = 3x = k \] 解得 $x = \frac{k}{3}$，进而 $y = \frac{3}{2} \cdot \frac{k}{3} = \frac{k}{2}$，$z = \frac{k}{6}$。

将 $x, y, z$ 代入 $f$： \[ f_{\max} = \left(\frac{k}{3}\right)^2 \left(\frac{k}{2}\right)^3 \left(\frac{k}{6}\right) = \frac{k^2}{9} \cdot \frac{k^3}{8} \cdot \frac{k}{6} = \frac{k^6}{9 \cdot 8 \cdot 6} = \frac{k^6}{432} \] 由于边界上（如 $x \to 0^+$）函数值趋于 $0$，且驻点唯一，故该点为最大值点。

由最大值结论，对任意正数 $x, y, z$，令 $k = x + y + z$，则有 \[ x^2 y^3 z \leq \frac{(x+y+z)^6}{432} \] 等号成立当且仅当 $x : y : z = \frac{k}{3} : \frac{k}{2} : \frac{k}{6} = 2 : 3 : 1$，即 $2z = x$ 且 $3x = 2y$。