华南理工大学 2022年数学分析第0题
📝 题目
九、已知函数 $\displaystyle f(x)$ 是定义在 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上，且
$$
f\left(x_{1}+x_{2}\right)=f\left(x_{1}\right) f\left(x_{2}\right),
$$
若 $\displaystyle f^{\prime}(0)=1$ ，证明：$\displaystyle f^{\prime}(x)=f(x)$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：推导 f(0) 的值
令 $x_1 = x_2 = 0$，代入函数方程 $f(x_1 + x_2) = f(x_1) f(x_2)$，得到 $f(0) = f(0) f(0)$，即 $f(0)^2 = f(0)$，所以 $f(0) = 0$ 或 $f(0) = 1$。
公式：f(0) = f(0) \cdot f(0)
提示：注意不要遗漏 $f(0)=0$ 的可能性，需要后续排除。
步骤 2/5
目标：排除 f(0)=0 的情况
若 $f(0) = 0$，则对任意 $x \in \mathbb{R}$，有 $f(x) = f(x+0) = f(x) f(0) = 0$，从而 $f(x) \equiv 0$，此时 $f'(0) = 0$，与已知条件 $f'(0) = 1$ 矛盾，故 $f(0) \neq 0$，因此 $f(0) = 1$。
公式：f(x) = f(x) \cdot 0 = 0
提示：利用函数方程推导恒零函数时，注意对任意 $x$ 都成立。
步骤 3/5
目标：利用导数定义表示 f'(x)
由导数定义：$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$。利用函数方程 $f(x+h) = f(x) f(h)$，代入得 $f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x) f(h) - f(x)}{h} = f(x) \cdot \lim_{h \to 0} \frac{f(h) - 1}{h}$。
公式：f'(x) = f(x) \cdot \lim_{h \to 0} \frac{f(h) - 1}{h}
提示：提取公因子 $f(x)$ 时，注意 $f(x)$ 与 $h$ 无关，可提到极限外。
步骤 4/5
目标：将极限转化为 f'(0)
注意到 $f(0) = 1$，因此 $\lim_{h \to 0} \frac{f(h) - 1}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{f(h) - f(0)}{h} = f'(0)$。由已知 $f'(0) = 1$，代入得 $f'(x) = f(x) \cdot 1 = f(x)$。
公式：\lim_{h \to 0} \frac{f(h) - 1}{h} = f'(0) = 1
提示：这一步的关键是识别出导数的定义形式，并利用 $f(0)=1$。
步骤 5/5
目标：得出结论
因此，对于所有实数 $x$，有 $f'(x) = f(x)$，即函数 $f$ 满足微分方程 $y' = y$，且初始条件 $f(0)=1$，故 $f(x) = e^x$。
公式：f'(x) = f(x)
提示：结论仅依赖于函数方程和 $f'(0)=1$，无需额外假设 $f$ 的可导性（已由导数定义保证）。
步骤 6/6
目标：得出结论
因此，对所有实数 $x$，有 $f'(x) = f(x)$，证毕。
公式：f'(x) = f(x)
提示：该结论表明 $f(x)$ 是指数函数 $e^x$ 的形式。
步骤 7/7
目标：得出结论
因此 $f'(x)=f(x)\cdot 1=f(x)$，即 $f'(x)=f(x)$。
公式：$f'(x)=f(x)$
提示：最终结果简洁，注意验证推导的每一步。
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