华南理工大学 2022年数学分析第0题
📝 题目
十、已知 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上可导，若 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x), \lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)$都存在，求证 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)=0$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：设极限并假设导数极限非零
设 $\displaystyle \lim_{x\to +\infty} f(x) = L$，$\displaystyle \lim_{x\to +\infty} f'(x) = M$，其中 $L, M$ 为有限实数。要证 $M=0$，反证：假设 $M \neq 0$，先考虑 $M > 0$ 的情形。
公式：$\displaystyle \lim_{x\to +\infty} f(x) = L,\quad \lim_{x\to +\infty} f'(x) = M$
提示：注意极限存在是有限实数，不能是无穷大。
步骤 2/5
目标：利用导数极限定义得到导数下界
由 $\displaystyle \lim_{x\to +\infty} f'(x) = M > 0$，取 $\varepsilon = \frac{M}{2} > 0$，则存在 $X > a$，使得对所有 $x \geq X$，有 $|f'(x) - M| < \frac{M}{2}$，从而 $f'(x) > M - \frac{M}{2} = \frac{M}{2} > 0$。
公式：$f'(x) > \frac{M}{2} > 0,\quad \forall x \geq X$
提示：注意 $\varepsilon$ 的选取要保证导数严格正，以便后续应用拉格朗日中值定理。
步骤 3/5
目标：应用拉格朗日中值定理导出矛盾
对任意 $y > x \geq X$，由拉格朗日中值定理，存在 $\xi \in (x, y)$ 使得 $f(y) - f(x) = f'(\xi)(y - x) > \frac{M}{2}(y - x)$。固定 $x = X$，令 $y \to +\infty$，则右边趋于 $+\infty$，故 $f(y) \to +\infty$，这与 $\displaystyle \lim_{x\to +\infty} f(x) = L$（有限）矛盾。
公式：$f(y) - f(X) > \frac{M}{2}(y - X) \to +\infty$
提示：拉格朗日中值定理要求函数在闭区间上连续、开区间内可导，这里由可导性保证。
步骤 4/5
目标：处理 M < 0 的情形
若 $M < 0$，取 $\varepsilon = \frac{|M|}{2} > 0$，则存在 $X > a$，使得对所有 $x \geq X$，有 $|f'(x) - M| < \frac{|M|}{2}$，从而 $f'(x) < M + \frac{|M|}{2} = \frac{M}{2} < 0$。类似地，对 $y > X$，有 $f(y) - f(X) < \frac{M}{2}(y - X) \to -\infty$，与 $f(x)$ 有有限极限矛盾。
公式：$f'(x) < \frac{M}{2} < 0,\quad f(y) - f(X) < \frac{M}{2}(y - X) \to -\infty$
提示：注意 $M<0$ 时 $M/2$ 仍为负，不等号方向要小心。
步骤 5/5
目标：得出结论
综合 $M>0$ 和 $M<0$ 均导致矛盾，故假设不成立，必有 $M=0$，即 $\displaystyle \lim_{x\to +\infty} f'(x) = 0$。
公式：$\displaystyle \lim_{x\to +\infty} f'(x) = 0$
提示：反证法是处理此类极限存在性问题的常用方法。
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