华南理工大学 2023年数学分析第0题
📝 题目
一．求极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\sqrt[m]{x^{m}+x^{m-1}}-\sqrt[m]{x^{m}-x^{m-1}}\right)$ ，其中 $\displaystyle m>1$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：提取公因子，简化表达式
当$x \to +\infty$时，将根号内的$x^m$提取出来：
\[
\sqrt[m]{x^m + x^{m-1}} = \sqrt[m]{x^m\left(1 + \frac{1}{x}\right)} = x \cdot \sqrt[m]{1 + \frac{1}{x}}
\]
\[
\sqrt[m]{x^m - x^{m-1}} = \sqrt[m]{x^m\left(1 - \frac{1}{x}\right)} = x \cdot \sqrt[m]{1 - \frac{1}{x}}
\]
原式变为：
\[
x\left( \sqrt[m]{1 + \frac{1}{x}} - \sqrt[m]{1 - \frac{1}{x}} \right)
\]
公式：\sqrt[m]{x^m \pm x^{m-1}} = x \sqrt[m]{1 \pm \frac{1}{x}}
提示：注意$x>0$，开方后$x$直接提出，无需考虑绝对值。
步骤 2/4
目标：利用等价无穷小展开根式
令$t = \frac{1}{x}$，当$x \to +\infty$时$t \to 0^+$。利用二项式展开：
\[
(1+t)^{\frac{1}{m}} = 1 + \frac{1}{m}t + \frac{1-m}{2m^2}t^2 + o(t^2)
\]
代入$t = \frac{1}{x}$得：
\[
\sqrt[m]{1 + \frac{1}{x}} = 1 + \frac{1}{m}\cdot\frac{1}{x} + \frac{1-m}{2m^2}\cdot\frac{1}{x^2} + o\left(\frac{1}{x^2}\right)
\]
\[
\sqrt[m]{1 - \frac{1}{x}} = 1 - \frac{1}{m}\cdot\frac{1}{x} + \frac{1-m}{2m^2}\cdot\frac{1}{x^2} + o\left(\frac{1}{x^2}\right)
\]
公式：(1+t)^{\frac{1}{m}} = 1 + \frac{1}{m}t + \frac{1-m}{2m^2}t^2 + o(t^2)
提示：注意第二个展开中$(-t)$的平方项与第一个相同，因为平方消去符号。
步骤 3/4
目标：相减消去同阶项
将两个展开式相减：
\[
\sqrt[m]{1 + \frac{1}{x}} - \sqrt[m]{1 - \frac{1}{x}}
= \left(1 + \frac{1}{mx} + \frac{1-m}{2m^2 x^2} + \cdots\right)
- \left(1 - \frac{1}{mx} + \frac{1-m}{2m^2 x^2} + \cdots\right)
\]
常数项$1$和二次项$\frac{1-m}{2m^2 x^2}$抵消，得到：
\[
= \frac{2}{m}\cdot\frac{1}{x} + o\left(\frac{1}{x^2}\right)
\]
公式：\sqrt[m]{1 + \frac{1}{x}} - \sqrt[m]{1 - \frac{1}{x}} = \frac{2}{mx} + o\left(\frac{1}{x^2}\right)
提示：注意$o\left(\frac{1}{x^2}\right)$表示比$\frac{1}{x^2}$更高阶的无穷小，相减后仍保留。
步骤 4/4
目标：乘以x并求极限
将相减结果乘以外面的$x$：
\[
x \cdot \left( \frac{2}{m}\cdot\frac{1}{x} + o\left(\frac{1}{x^2}\right) \right)
= \frac{2}{m} + o\left(\frac{1}{x}\right)
\]
当$x \to +\infty$时，$o\left(\frac{1}{x}\right) \to 0$，因此极限为：
\[
\lim_{x \to +\infty} \left(\sqrt[m]{x^m + x^{m-1}} - \sqrt[m]{x^m - x^{m-1}}\right) = \frac{2}{m}
\]
公式：\lim_{x \to +\infty} x \cdot \frac{2}{mx} = \frac{2}{m}
提示：最后一步注意$o\left(\frac{1}{x}\right)$是无穷小量，不影响极限值。
步骤 5/5
目标：得出最终结果
因此原极限为 $\frac{2}{m}$。
公式：\boxed{\frac{2}{m}}
提示：注意 $m>1$ 的条件保证极限存在且为正。
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