📝 华南理工大学 2023年数学分析真题

一．求极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\sqrt[m]{x^{m}+x^{m-1}}-\sqrt[m]{x^{m}-x^{m-1}}\right)$ ，其中 $\displaystyle m>1$ ．

七．$\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle \Omega$ 上有定义，关于 $\displaystyle x, y$ 连续且关于 $y$ 单调递减，证明 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle \Omega$ 上连续．

三．已知 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a,+\infty)$ 上可导，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x)=\lim _{x \rightarrow \infty} f(x)$ ，证明存在一点 $\displaystyle c \in(a,+\infty)$ ，使得 $\displaystyle f^{\prime}(c)=0$

九．证明 $\displaystyle f(s)=\int_{0}^{+\infty} x^{s-1} e^{-2 x} \mathrm{~d} x$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上可微．

二．（1）已知 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}}{n}=a$（有限数），证明 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n}}{n}=0$ ．
（2）． $\displaystyle 0<k \leq 1$ ，用 Cauchy 准则证明 $\displaystyle a_{n}=1+\frac{1}{2^{k}}+\frac{1}{3^{k}}+\cdots+\frac{1}{n^{k}}$ 发散。

五．（1）已知 $\displaystyle f(x)=x+y+z, P_{0}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$ 为单位球上一点，求 $f$ 在 $\displaystyle P_{0}$ 处沿外法方向的方向导数．
（2）上述方向导数最大值在何处取到．

八．已知 $\displaystyle a, b>1, F(x)$ 定义在 $\displaystyle [0,1]$ ，且 $\displaystyle F(a x)=b F(x)$ ，证明 $\displaystyle F(x)$ 在 0 处右连续．

六．求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} \frac{x^{n}}{1+\sqrt{x}} \mathrm{~d} x$ ．

十．已知设 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 单调递减趋于零，证明 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 与 $\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} 2^{k} a_{2^{k}}$ 同玫散．
十一。设 $\displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{2^{n}+x}$
（1）．证明 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上可导，且一致连续；
（2）．证明反常积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 发散．

四．计算 $\displaystyle \iint_{\Sigma}(x+y+z) \mathrm{d} S$ ，其中 $\displaystyle \Sigma$ 为 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ 的上半部分．