华南理工大学 2023年数学分析第0题
📝 题目
十．已知设 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 单调递减趋于零，证明 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 与 $\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} 2^{k} a_{2^{k}}$ 同玫散．
十一。设 $\displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{2^{n}+x}$
（1）．证明 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上可导，且一致连续；
（2）．证明反常积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 发散．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：第十题：证明原级数与凝聚级数同敛散（正向不等式）
由于 \(\{a_n\}\) 单调递减趋于零，对于 \(k \ge 0\)，考虑下标区间 \(n \in [2^k, 2^{k+1}-1]\)，该区间共有 \(2^k\) 项。由单调性，对该区间内的项有下界：\(a_n \ge a_{2^{k+1}-1} \ge a_{2^{k+1}}\)。于是原级数的部分和 \(S_{2^{N+1}-1} = \sum_{n=1}^{2^{N+1}-1} a_n = a_1 + \sum_{k=0}^{N} \sum_{n=2^k}^{2^{k+1}-1} a_n \ge a_1 + \sum_{k=0}^{N} 2^k a_{2^{k+1}}\)。令 \(j = k+1\)，则右边为 \(a_1 + \sum_{j=1}^{N+1} 2^{j-1} a_{2^j}\)，这与凝聚级数 \(\sum_{k=0}^{\infty} 2^k a_{2^k}\) 的部分和仅差常数因子。因此，若原级数收敛，则凝聚级数收敛。
公式：S_{2^{N+1}-1} \ge a_1 + \sum_{k=0}^{N} 2^k a_{2^{k+1}}
提示：注意分组时区间端点取法，确保不等式方向正确；下界用区间内最小项（即最后一项）估计。
步骤 2/5
目标：第十题：证明原级数与凝聚级数同敛散（反向不等式）
同样分组，但这次用上界：由于 \(a_n \le a_{2^k}\)（区间内第一项最大），有 \(\sum_{n=2^k}^{2^{k+1}-1} a_n \le 2^k \cdot a_{2^k}\)。于是原级数的部分和 \(S_{2^{N+1}-1} \le a_1 + \sum_{k=0}^{N} 2^k a_{2^k}\)。若凝聚级数收敛，则右边有界，从而原级数的部分和单调递增且有上界，故原级数收敛。结合正向不等式，两者同敛散。
公式：S_{2^{N+1}-1} \le a_1 + \sum_{k=0}^{N} 2^k a_{2^k}
提示：反向不等式用上界估计，注意原级数各项非负（单调递减趋于零隐含非负）。
步骤 3/5
目标：第十一题(1)：证明 \(f(x)\) 在 \([0,+\infty)\) 上可导
令 \(u_n(x) = \frac{1}{2^n + x}\)，则 \(u_n'(x) = -\frac{1}{(2^n + x)^2}\)。对任意闭区间 \([0, M]\)，有 \(|u_n'(x)| \le \frac{1}{(2^n)^2} = \frac{1}{4^n}\)，而 \(\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{4^n}\) 收敛。由 Weierstrass M-判别法，\(\sum u_n'(x)\) 在 \([0, M]\) 上一致收敛。又 \(\sum u_n(x)\) 在 \([0, M]\) 上逐点收敛，故由函数项级数逐项求导定理，\(f(x)\) 在 \([0, M]\) 上可导且 \(f'(x) = -\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(2^n + x)^2}\)。由 \(M\) 的任意性，\(f(x)\) 在 \([0,+\infty)\) 上每一点可导。
公式：f'(x) = -\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(2^n + x)^2}
提示：注意验证一致收敛的条件：导数级数在任意闭区间上被收敛的常数项级数控制。
步骤 4/5
目标：第十一题(1)：证明 \(f(x)\) 在 \([0,+\infty)\) 上一致连续
由导数表达式，对任意 \(x \ge 0\)，有 \(|f'(x)| \le \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(2^n)^2} = \frac{1}{1-1/4} = \frac{4}{3}\)。因此 \(f'(x)\) 在 \([0,+\infty)\) 上有界。根据拉格朗日中值定理，对任意 \(x, y \ge 0\)，存在 \(\xi\) 介于 \(x, y\) 之间，使得 \(|f(x)-f(y)| = |f'(\xi)||x-y| \le \frac{4}{3}|x-y|\)。故 \(f\) 是 Lipschitz 连续的，从而一致连续。
公式：|f(x)-f(y)| \le \frac{4}{3}|x-y|
提示：一致连续性的证明常用导数有界结合中值定理，注意定义域是无穷区间但导数有界仍保证 Lipschitz 连续。
步骤 5/5
目标：第十一题(2)：证明反常积分 \(\int_0^{+\infty} f(x) dx\) 发散
由于 \(f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{2^n + x}\)，且各项非负，由单调收敛定理可交换积分与求和顺序：\(\int_0^{+\infty} f(x) dx = \sum_{n=0}^\infty \int_0^{+\infty} \frac{dx}{2^n + x}\)。计算内层积分：\(\int_0^{+\infty} \frac{dx}{2^n + x} = \lim_{b \to +\infty} [\ln(2^n + x)]_0^b = \lim_{b \to +\infty} \ln(2^n + b) - \ln(2^n) = +\infty\)。因此每一项积分都发散到无穷，级数每一项为 \(+\infty\)，总和发散，故原反常积分发散。
公式：\int_0^{+\infty} \frac{dx}{2^n + x} = +\infty
提示：注意交换积分与求和的合法性：非负函数项级数可用单调收敛定理或 Levi 引理。每个积分发散到无穷，无需进一步比较。
步骤 6/6
目标：第十一题(2)：证明反常积分发散
由于 $f(x) \ge 0$，由Tonelli定理（非负函数可交换积分与求和次序），有 $\int_0^{+\infty} f(x) \, dx = \sum_{n=0}^{\infty} \int_0^{+\infty} \frac{dx}{2^n + x}$。计算内层积分：$\int_0^{+\infty} \frac{dx}{2^n + x} = \lim_{b \to +\infty} [\ln(2^n + x)]_0^b = \lim_{b \to +\infty} \ln(2^n + b) - \ln(2^n) = +\infty$。每一项积分发散到无穷，故级数和发散，从而原反常积分发散。
公式：\int_0^{+\infty} \frac{dx}{2^n + x} = +\infty
提示：注意积分发散是因为对数函数无界，不能直接说每一项发散就得到整体发散，但这里每一项都是正无穷，且求和是无穷多个正无穷，结果必发散。
步骤 7/7
目标：证明反常积分 $\int_0^{+\infty} f(x) dx$ 发散
由于所有项非负，由单调收敛定理可逐项积分：
$$\int_0^{+\infty} f(x) dx = \sum_{n=0}^{\infty} \int_0^{+\infty} \frac{1}{2^n+x} dx.$$
计算每个积分：
$$\int_0^{+\infty} \frac{1}{2^n+x} dx = \lim_{b\to +\infty} \left[ \ln(2^n+x) \right]_0^b = +\infty.$$
每一项积分发散至无穷，故级数发散，从而原积分发散。
公式：$$\int_0^{+\infty} \frac{1}{2^n+x} dx = +\infty$$
提示：逐项积分需验证非负性，这里显然满足。也可以直接比较：$f(x) \ge \frac{1}{1+x}$ 在 $[0,+\infty)$ 上积分发散。
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