华南理工大学 2023年数学分析第0题
📝 题目
七．$\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle \Omega$ 上有定义，关于 $\displaystyle x, y$ 连续且关于 $y$ 单调递减，证明 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle \Omega$ 上连续．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：明确条件和证明目标
已知函数 $f(x,y)$ 在区域 $\Omega$ 上有定义，且满足：(1) 关于 $x$ 连续；(2) 关于 $y$ 连续；(3) 关于 $y$ 单调递减。要证明 $f(x,y)$ 在 $\Omega$ 上作为二元函数连续。即对任意 $(x_0,y_0)\in\Omega$，$\forall\varepsilon>0$，$\exists\delta>0$，使得当 $|x-x_0|<\delta$，$|y-y_0|<\delta$ 且 $(x,y)\in\Omega$ 时，有 $|f(x,y)-f(x_0,y_0)|<\varepsilon$。
公式：|f(x,y)-f(x_0,y_0)|<\varepsilon
提示：注意区分“单独连续”和“联合连续”，单调性是关键桥梁。
步骤 2/6
目标：由关于 y 的连续性得到局部估计
固定 $(x_0,y_0)$，由 $f$ 关于 $y$ 连续，存在 $\delta_1>0$，使得当 $|y-y_0|<\delta_1$ 且 $(x_0,y)\in\Omega$ 时，有 $|f(x_0,y)-f(x_0,y_0)|<\frac{\varepsilon}{2}$。特别地，取 $y=y_0\pm\frac{\delta_1}{2}$，则 $|f(x_0,y_0\pm\frac{\delta_1}{2})-f(x_0,y_0)|<\frac{\varepsilon}{2}$。
公式：|f(x_0,y)-f(x_0,y_0)|<\frac{\varepsilon}{2}
提示：这里 $\delta_1$ 的选取依赖于 $(x_0,y_0)$ 和 $\varepsilon$，但后续会统一控制。
步骤 3/6
目标：由关于 x 的连续性得到两个水平方向的估计
由 $f$ 关于 $x$ 连续，对 $y=y_0$，存在 $\delta_2>0$，使得当 $|x-x_0|<\delta_2$ 且 $(x,y_0)\in\Omega$ 时，$|f(x,y_0)-f(x_0,y_0)|<\frac{\varepsilon}{2}$。同样，对 $y=y_0+\frac{\delta_1}{2}$（假设该点在 $\Omega$ 内部，边界情况类似处理），存在 $\delta_3>0$，使得当 $|x-x_0|<\delta_3$ 时，$|f(x,y_0+\frac{\delta_1}{2})-f(x_0,y_0+\frac{\delta_1}{2})|<\frac{\varepsilon}{2}$。同理，对 $y=y_0-\frac{\delta_1}{2}$，存在 $\delta_4>0$ 使类似不等式成立。
公式：|f(x,y_0)-f(x_0,y_0)|<\frac{\varepsilon}{2},\quad |f(x,y_0\pm\frac{\delta_1}{2})-f(x_0,y_0\pm\frac{\delta_1}{2})|<\frac{\varepsilon}{2}
提示：注意 $\delta_2,\delta_3,\delta_4$ 可能不同，后续取最小值。
步骤 4/6
目标：利用单调性建立不等式链
由于 $f$ 关于 $y$ 单调递减，对任意固定的 $x$，当 $y$ 在区间 $[y_0-\frac{\delta_1}{2},\,y_0+\frac{\delta_1}{2}]$ 内时，有 $f(x,y_0+\frac{\delta_1}{2}) \le f(x,y) \le f(x,y_0-\frac{\delta_1}{2})$。
公式：f(x,y_0+\frac{\delta_1}{2}) \le f(x,y) \le f(x,y_0-\frac{\delta_1}{2})
提示：单调递减方向：自变量越大，函数值越小。
步骤 5/6
目标：选取统一的 δ 并整合估计
取 $\delta = \min\left(\frac{\delta_1}{2},\delta_2,\delta_3,\delta_4\right)$。当 $|x-x_0|<\delta$ 且 $|y-y_0|<\delta$ 时，首先有 $|y-y_0|<\frac{\delta_1}{2}$，故 $y$ 落在区间 $[y_0-\frac{\delta_1}{2},y_0+\frac{\delta_1}{2}]$ 内。于是由单调性：$f(x,y_0+\frac{\delta_1}{2}) \le f(x,y) \le f(x,y_0-\frac{\delta_1}{2})$。再由 x 的连续性，$|f(x,y_0\pm\frac{\delta_1}{2})-f(x_0,y_0\pm\frac{\delta_1}{2})|<\frac{\varepsilon}{2}$。最后结合 y 的连续性：$|f(x_0,y_0\pm\frac{\delta_1}{2})-f(x_0,y_0)|<\frac{\varepsilon}{2}$。因此：$f(x_0,y_0)-\varepsilon < f(x,y) < f(x_0,y_0)+\varepsilon$，即 $|f(x,y)-f(x_0,y_0)|<\varepsilon$。
公式：|f(x,y)-f(x_0,y_0)|<\varepsilon
提示：注意不等式传递时，上下界分别处理：$f(x,y) \le f(x,y_0-\frac{\delta_1}{2}) < f(x_0,y_0-\frac{\delta_1}{2})+\frac{\varepsilon}{2} < f(x_0,y_0)+\varepsilon$，下界类似。
步骤 6/6
目标：结论
由上述推导，对任意 $(x_0,y_0)\in\Omega$ 和任意 $\varepsilon>0$，存在 $\delta>0$ 使得当 $|x-x_0|<\delta$，$|y-y_0|<\delta$ 且 $(x,y)\in\Omega$ 时，有 $|f(x,y)-f(x_0,y_0)|<\varepsilon$。故 $f(x,y)$ 在 $\Omega$ 上连续。
提示：证明中假设了 $y_0\pm\delta_1/2$ 在定义域内，若在边界上，可只取一侧，类似处理。
步骤 7/8
目标：情况2：y < y₀时的估计
当 $y < y_0$ 时，由单调递减得 $f(x, y) \ge f(x, y_0)$。下界：$f(x, y) \ge f(x, y_0) > f(x_0, y_0) - \frac{\varepsilon}{2}$。上界：由x连续性，$f(x, y) \le f(x_0, y) + \frac{\varepsilon}{2} < f(x_0, y_0) + \varepsilon$。因此 $|f(x, y) - f(x_0, y_0)| < \varepsilon$。
公式：f(x, y) \ge f(x, y_0), \quad f(x, y) \le f(x_0, y) + \frac{\varepsilon}{2}
提示：与情况1对称，注意单调性方向相反。
步骤 8/8
目标：总结结论
综合两种情况，对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $\delta = \min(\delta_1, \delta_2) > 0$，使得当 $|x - x_0| < \delta$，$|y - y_0| < \delta$ 时，恒有 $|f(x, y) - f(x_0, y_0)| < \varepsilon$。因此 $f(x, y)$ 在 $(x_0, y_0)$ 处连续，由 $(x_0, y_0)$ 的任意性知 $f(x, y)$ 在 $\Omega$ 上连续。
提示：证明的关键是利用单调性将二元函数值转化为已知的一元连续函数值进行比较。
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