华南理工大学 2023年数学分析第0题
📝 题目
五．（1）已知 $\displaystyle f(x)=x+y+z, P_{0}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$ 为单位球上一点，求 $f$ 在 $\displaystyle P_{0}$ 处沿外法方向的方向导数．
（2）上述方向导数最大值在何处取到．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：确定外法方向单位向量
点 $P_0(x_0, y_0, z_0)$ 在单位球面上，即 $x_0^2 + y_0^2 + z_0^2 = 1$。对于球心在原点的单位球面，外法向量就是该点的位置向量，且由于点在球面上，该向量已是单位向量，故外法方向单位向量为 $\mathbf{n} = (x_0, y_0, z_0)$。
公式：$\mathbf{n} = (x_0, y_0, z_0)$
提示：注意单位球面上点的位置向量长度恰为1，因此无需再归一化。
步骤 2/6
目标：计算函数梯度
函数 $f(x, y, z) = x + y + z$，其梯度为各偏导数组成的向量：$\nabla f = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z} \right) = (1, 1, 1)$。
公式：$\nabla f = (1, 1, 1)$
提示：梯度是常数向量，与点 $P_0$ 无关。
步骤 3/6
目标：计算方向导数
方向导数公式为 $D_{\mathbf{n}} f(P_0) = \nabla f(P_0) \cdot \mathbf{n}$。代入梯度与外法向量得：$D_{\mathbf{n}} f(P_0) = (1, 1, 1) \cdot (x_0, y_0, z_0) = x_0 + y_0 + z_0$。
公式：$D_{\mathbf{n}} f(P_0) = x_0 + y_0 + z_0$
提示：方向导数是梯度与方向向量的点积，结果是一个标量。
步骤 4/6
目标：将问题转化为条件极值
第一问得到的方向导数为 $x_0 + y_0 + z_0$，而点 $(x_0, y_0, z_0)$ 满足单位球面方程 $x_0^2 + y_0^2 + z_0^2 = 1$。因此求方向导数的最大值等价于在约束 $x^2 + y^2 + z^2 = 1$ 下求 $F = x + y + z$ 的最大值。
公式：约束条件：$x^2 + y^2 + z^2 = 1$，目标函数：$F = x + y + z$
提示：注意变量符号从 $(x_0, y_0, z_0)$ 换为 $(x, y, z)$ 以简化书写。
步骤 5/6
目标：应用柯西不等式求最大值
由柯西不等式：$(x + y + z)^2 \le (1^2 + 1^2 + 1^2)(x^2 + y^2 + z^2) = 3 \times 1 = 3$，因此 $x + y + z \le \sqrt{3}$。等号成立当且仅当 $\frac{x}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z}{1}$，即 $x = y = z$。
公式：$(x + y + z)^2 \le 3(x^2 + y^2 + z^2)$
提示：柯西不等式等号成立条件是向量 $(x, y, z)$ 与 $(1, 1, 1)$ 共线。
步骤 6/6
目标：确定最大值点坐标
由 $x = y = z$ 代入球面方程得 $3x^2 = 1$，解得 $x = \frac{1}{\sqrt{3}}$（取正值使和最大），故最大值点为 $\left( \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}} \right)$。
公式：$x = y = z = \frac{1}{\sqrt{3}}$
提示：由于方向导数可正可负，最大值对应正坐标点。
步骤 7/7
目标：求解取最大值点
由 $x_0=y_0=z_0$ 及 $x_0^2+y_0^2+z_0^2=1$ 得 $3x_0^2=1$，故 $x_0=y_0=z_0=\frac{1}{\sqrt{3}}$，即点为 $\left(\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}}\right)$。
公式：P_0 = \left(\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}}\right)
提示：注意取正值，因为方向导数最大值要求正方向。
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