华南理工大学 2023年数学分析第0题

记 $F(s, x) = x^{s-1} e^{-2x}$，其中 $s > 0$，$x > 0$。对于固定的 $s$，当 $x \to 0^+$ 时，$x^{s-1}$ 的幂次为 $s-1 > -1$，因此积分在 $0$ 附近收敛；当 $x \to +\infty$ 时，指数因子 $e^{-2x}$ 起主导作用，确保积分收敛。因此 $f(s) = \int_0^{+\infty} F(s, x) \, dx$ 对每个 $s > 0$ 有定义。

对 $F(s, x)$ 关于 $s$ 求偏导：利用 $x^{s-1} = e^{(s-1)\ln x}$，得 $\frac{\partial}{\partial s} F(s, x) = e^{(s-1)\ln x} \cdot \ln x \cdot e^{-2x} = x^{s-1} \ln x \, e^{-2x}$。我们需要证明积分与求导可交换，即 $f'(s) = \int_0^{+\infty} x^{s-1} \ln x \, e^{-2x} \, dx$。

取任意闭区间 $[a, b] \subset (0, +\infty)$，其中 $0 < a < b$。考虑 $0 < x \le 1$ 时，由于 $s \ge a$，有 $x^{s-1} \le x^{a-1}$（因为 $x<1$ 时指数越小值越大）。同时，对任意 $\epsilon > 0$，存在常数 $C_\epsilon$ 使得 $|\ln x| \le C_\epsilon x^{-\epsilon}$。取 $\epsilon = a/2$，则 $x^{a-1}|\ln x| \le C x^{a/2 - 1}$。由于 $a/2 - 1 > -1$，该函数在 $0$ 附近可积，且控制函数与 $s$ 无关，因此积分在 $[a,b]$ 上一致收敛。

当 $x \ge 1$ 时，由于 $s \le b$，有 $x^{s-1} \le x^{b-1}$。而 $|\ln x|$ 的增长慢于任何正幂次，因此存在常数 $C$ 使得对足够大的 $x$，有 $x^{b-1} |\ln x| e^{-2x} \le C e^{-x}$。由于 $\int_1^{+\infty} e^{-x} \, dx$ 收敛且与 $s$ 无关，因此无穷远处的积分在 $[a,b]$ 上一致收敛。

由上述两步，偏导函数 $\frac{\partial}{\partial s} F(s, x)$ 在任意闭区间 $[a, b] \subset (0, +\infty)$ 上一致收敛，且 $F(s, x)$ 本身连续。根据含参积分求导定理（莱布尼茨法则），$f(s)$ 在 $[a, b]$ 上可微，且 $f'(s) = \int_0^{+\infty} \frac{\partial}{\partial s} F(s, x) \, dx$。由于对任意 $s > 0$ 都可找到包含它的闭区间，因此 $f(s)$ 在 $(0, +\infty)$ 上可微。

我们完成了证明：函数 $f(s)=\int_{0}^{+\infty} x^{s-1} e^{-2x} \, dx$ 在 $(0,+\infty)$ 上可微，且导数表达式如上。证明的关键是利用 Weierstrass M-判别法验证了偏导数积分的内闭一致收敛性。

由于 $[a,b]$ 是 $(0,+\infty)$ 内任意闭区间，$f(s)$ 在每个闭区间上可微，从而在 $(0,+\infty)$ 上可微。因此原命题得证。