华南理工大学 2023年数学分析第0题
📝 题目
六．求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} \frac{x^{n}}{1+\sqrt{x}} \mathrm{~d} x$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：观察被积函数在区间上的行为
在区间 $[0,1]$ 上，分母 $1+\sqrt{x}$ 是正的，且介于 $1$ 和 $2$ 之间。分子为 $x^n$，当 $n$ 很大时，对于任意 $0 \le x < 1$，有 $x^n \to 0$，仅在 $x=1$ 处值为 $1$。因此猜测积分极限可能为 $0$。
公式：$\forall x \in [0,1), \lim_{n\to\infty} x^n = 0$
提示：注意 $x=1$ 是边界点，但单点不影响积分值。
步骤 2/5
目标：建立不等式放缩
由于 $1 \le 1+\sqrt{x} \le 2$，取倒数得 $\frac{1}{2} \le \frac{1}{1+\sqrt{x}} \le 1$，因此有：
$$\frac{x^n}{2} \le \frac{x^n}{1+\sqrt{x}} \le x^n$$
对不等式在 $[0,1]$ 上积分，得：
$$\frac{1}{2}\int_0^1 x^n \,dx \le \int_0^1 \frac{x^n}{1+\sqrt{x}} \,dx \le \int_0^1 x^n \,dx$$
公式：$\frac{x^n}{2} \le \frac{x^n}{1+\sqrt{x}} \le x^n$
提示：放缩时注意分母的范围，确保不等式方向正确。
步骤 3/5
目标：计算基本积分
计算 $\int_0^1 x^n \,dx$：
$$\int_0^1 x^n \,dx = \left. \frac{x^{n+1}}{n+1} \right|_0^1 = \frac{1}{n+1}$$
因此积分值满足：
$$\frac{1}{2(n+1)} \le \int_0^1 \frac{x^n}{1+\sqrt{x}} \,dx \le \frac{1}{n+1}$$
公式：$\int_0^1 x^n \,dx = \frac{1}{n+1}$
提示：注意 $n$ 是正整数，$n+1>0$。
步骤 4/5
目标：应用夹逼定理求极限
当 $n \to \infty$ 时，$\frac{1}{2(n+1)} \to 0$ 且 $\frac{1}{n+1} \to 0$。由夹逼定理（夹逼准则），介于两者之间的积分极限也为 $0$：
$$\lim_{n\to\infty} \int_0^1 \frac{x^n}{1+\sqrt{x}} \,dx = 0$$
公式：$\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n+1} = 0$，夹逼定理
提示：夹逼定理要求两边极限相等，此处均为0。
步骤 5/5
目标：得出最终答案
因此，所求极限值为 $0$。
公式：$\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} \frac{x^{n}}{1+\sqrt{x}} \mathrm{~d} x = 0$
提示：答案简洁，无需额外计算。
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