华南理工大学 2023年数学分析第0题
📝 题目
二．（1）已知 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}}{n}=a$（有限数），证明 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n}}{n}=0$ ．
（2）． $\displaystyle 0<k \leq 1$ ，用 Cauchy 准则证明 $\displaystyle a_{n}=1+\frac{1}{2^{k}}+\frac{1}{3^{k}}+\cdots+\frac{1}{n^{k}}$ 发散。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：记部分和并利用已知极限
设 $S_n = a_1 + a_2 + \cdots + a_n$，则已知条件为 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{S_n}{n} = a$（有限数）。由此也得到 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{S_{n-1}}{n-1} = a$。
公式：$S_n = \sum_{i=1}^n a_i$，$\lim_{n\to\infty}\frac{S_n}{n}=a$
提示：注意 $S_{n-1}$ 的极限形式与 $S_n$ 类似，只需将 $n$ 替换为 $n-1$。
步骤 2/6
目标：用 $S_n$ 表示 $a_n$ 并构造 $\frac{a_n}{n}$
由 $a_n = S_n - S_{n-1}$，得 $\frac{a_n}{n} = \frac{S_n}{n} - \frac{S_{n-1}}{n}$。将第二项改写为 $\frac{S_{n-1}}{n} = \frac{S_{n-1}}{n-1} \cdot \frac{n-1}{n}$。
公式：$\frac{a_n}{n} = \frac{S_n}{n} - \frac{S_{n-1}}{n-1} \cdot \frac{n-1}{n}$
提示：这一步的关键是将分母统一为 $n$ 或 $n-1$，以便利用已知极限。
步骤 3/6
目标：取极限并得出结论
当 $n \to \infty$ 时，$\frac{S_n}{n} \to a$，$\frac{S_{n-1}}{n-1} \to a$，$\frac{n-1}{n} \to 1$。因此 $\frac{a_n}{n} \to a - a \cdot 1 = 0$。
公式：$\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{n}=0$
提示：注意极限的四则运算法则要求各部分极限存在，这里均满足。
步骤 4/6
目标：问题（2）：写出Cauchy准则并构造差
Cauchy收敛准则：数列 $\{a_n\}$ 收敛当且仅当 $\forall \varepsilon>0$，$\exists N$，使得 $\forall m>n>N$，有 $|a_m-a_n|<\varepsilon$。对于部分和 $a_n = \sum_{i=1}^n \frac{1}{i^k}$，考虑 $a_{2n} - a_n = \sum_{i=n+1}^{2n} \frac{1}{i^k}$。
公式：$a_{2n} - a_n = \frac{1}{(n+1)^k}+\frac{1}{(n+2)^k}+\cdots+\frac{1}{(2n)^k}$
提示：Cauchy准则中常取 $m=2n$ 来检验发散性。
步骤 5/6
目标：利用 $k\le 1$ 放缩差值
由于 $0
公式：$a_{2n} - a_n \ge \frac{n^{1-k}}{2^k}$
提示：放缩时注意分母越大值越小，所以用最大分母 $2n$ 得到下界。
步骤 6/6
目标：分情况讨论并应用Cauchy准则
当 $k<1$ 时，$n^{1-k} \to \infty$，差值无界；当 $k=1$ 时，差值为常数 $\frac{1}{2}$。取 $\varepsilon = \frac{1}{4}$，则对任意 $N$，存在 $n>N$ 使得 $a_{2n}-a_n \ge \frac{1}{2} > \varepsilon$（$k=1$ 时）或差值更大（$k<1$ 时），故不满足Cauchy条件，数列发散。
公式：当 $k=1$ 时，$a_{2n}-a_n \ge \frac12$；当 $k<1$ 时，$a_{2n}-a_n \to \infty$
提示：Cauchy准则要求对所有 $m>n>N$ 成立，只需找到一个反例（如 $m=2n$）即可证明发散。
步骤 7/7
目标：分情况讨论并得出矛盾
当 $k < 1$ 时，$n^{1-k} \to \infty$，因此对足够大的 $n$，$a_{2n} - a_n$ 可以大于任意正数，特别地大于 $\frac{1}{2}$。当 $k = 1$ 时，$a_{2n} - a_n \ge \frac{n}{2n} = \frac{1}{2}$。因此取 $\varepsilon_0 = \frac{1}{4}$（或任何小于 $\frac{1}{2}$ 的正数），对任意 $N$，取 $n \ge N$，$m = 2n$，都有 $a_m - a_n \ge \frac{1}{2} > \varepsilon_0$，不满足 Cauchy 条件，故数列发散。
公式：$\varepsilon_0 = \frac{1}{4}$
提示：关键在于 $k \le 1$ 使得下界不趋于 0，从而无法满足 Cauchy 条件。
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