华南理工大学 2023年数学分析第0题

右连续要求 $\lim_{x \to 0^+} F(x) = F(0)$。在函数方程 $F(ax) = bF(x)$ 中令 $x = 0$，得 $F(0) = bF(0)$。由于 $b > 1$，移项得 $(b-1)F(0)=0$，因此 $F(0)=0$。故只需证明 $\lim_{x \to 0^+} F(x) = 0$。

对任意 $x \in (0,1]$ 和正整数 $n$，反复应用 $F(ax)=bF(x)$ 可得：$F(a^n x) = b^n F(x)$。这可通过数学归纳法严格证明：$n=1$ 时即为条件；假设 $n$ 成立，则 $F(a^{n+1}x)=F(a\cdot a^n x)=bF(a^n x)=b\cdot b^n F(x)=b^{n+1}F(x)$。因此 $F(x) = \dfrac{F(a^n x)}{b^n}$。

对任意 $x \in (0,1]$，取整数 $n = \lceil -\log_a x \rceil$，则 $a^n x \in (1/a, 1]$。这是因为 $a^{n-1}x \le 1$ 且 $a^n x > 1/a$。于是 $a^n x$ 始终落在闭区间 $[1/a, 1]$ 内。

反证法：假设 $F$ 在 $[1/a,1]$ 上无上界，则存在序列 $t_k \in [1/a,1]$ 使得 $|F(t_k)| \to +\infty$。对每个 $t_k$，取 $x_k = t_k / a \in [1/a^2, 1/a]$，由方程 $F(t_k)=bF(x_k)$ 得 $|F(x_k)| = |F(t_k)|/b \to +\infty$。重复此过程，可得到趋于 $0$ 的点列上 $|F|$ 无界，这与 $F$ 在 $0$ 附近取有限值矛盾（因为 $F(0)=0$ 且函数在 $0$ 的任意邻域内应有定义）。因此 $F$ 在 $[1/a,1]$ 上有界，记 $M = \sup_{t \in [1/a,1]} |F(t)| < +\infty$。

对任意 $\varepsilon > 0$，取 $N$ 足够大使得 $\dfrac{M}{b^N} < \varepsilon$。令 $\delta = a^{-N}$，则当 $0 < x < \delta$ 时，对应的 $n = \lceil -\log_a x \rceil \ge N$。由迭代公式：$|F(x)| = \dfrac{|F(a^n x)|}{b^n} \le \dfrac{M}{b^n} \le \dfrac{M}{b^N} < \varepsilon$。因此 $\lim_{x \to 0^+} F(x) = 0 = F(0)$，即 $F(x)$ 在 $0$ 处右连续。

对任意 $\varepsilon > 0$，取正整数 $N$ 使得 $\frac{M}{b^N} < \varepsilon$。令 $\delta = a^{-N}$，则当 $0 < x < \delta$ 时，有 $a^N x < 1$。但此时 $a^N x$ 可能小于 $1/a$，不能直接使用 $M$ 的估计。为此，对 $x$ 取整数 $n \ge N$ 使得 $\frac{1}{a} < a^n x \le 1$，则 $n \ge N$，于是 $|F(x)| = \frac{|F(a^n x)|}{b^n} \le \frac{M}{b^n} \le \frac{M}{b^N} < \varepsilon$。因此 $\lim_{x\to 0^+} F(x)=0 = F(0)$，即 $F(x)$ 在 $0$ 处右连续。