华南理工大学 2023年数学分析第0题
📝 题目
三．已知 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a,+\infty)$ 上可导，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x)=\lim _{x \rightarrow \infty} f(x)$ ，证明存在一点 $\displaystyle c \in(a,+\infty)$ ，使得 $\displaystyle f^{\prime}(c)=0$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：设定共同的极限值
设 $\displaystyle \lim_{x \to a^+} f(x) = \lim_{x \to +\infty} f(x) = L$，其中 $L$ 是一个有限实数（因为极限存在）。
公式：$$\lim_{x \to a^+} f(x) = \lim_{x \to +\infty} f(x) = L$$
提示：注意极限存在的假设是题目给出的，不需要额外证明。
步骤 2/5
目标：分情况讨论：常数函数情形
若 $f(x)$ 在 $(a, +\infty)$ 上恒等于 $L$，则对任意 $c \in (a, +\infty)$ 都有 $f'(c) = 0$，结论显然成立。
公式：$$f(x) \equiv L \Rightarrow f'(c)=0,\ \forall c$$
提示：常数函数是平凡情况，不要遗漏。
步骤 3/5
目标：非平凡情形：存在函数值不等于极限的点
若 $f(x)$ 不恒等于 $L$，则存在 $x_0 \in (a, +\infty)$ 使得 $f(x_0) \neq L$。不妨设 $f(x_0) > L$（若 $f(x_0) < L$ 则对称处理）。
公式：$$\exists x_0 \in (a,+\infty),\ f(x_0) > L$$
提示：这里利用极限定义，可以找到比 $L$ 大或小的点。
步骤 4/5
目标：利用极限定义构造两个端点
由 $\displaystyle \lim_{x \to a^+} f(x) = L$，存在 $x_1 \in (a, x_0)$ 使得 $f(x_1) < f(x_0)$（因为 $f(x)$ 在 $a^+$ 附近无限接近 $L$，而 $L < f(x_0)$）。同理，由 $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x) = L$，存在 $x_2 \in (x_0, +\infty)$ 使得 $f(x_2) < f(x_0)$。
公式：$$\exists x_1 \in (a, x_0),\ f(x_1) < f(x_0);\quad \exists x_2 \in (x_0, +\infty),\ f(x_2) < f(x_0)$$
提示：注意 $x_1$ 和 $x_2$ 分别位于 $x_0$ 的两侧，且端点值都小于 $f(x_0)$。
步骤 5/5
目标：应用费马定理
考虑闭区间 $[x_1, x_2]$，$f$ 在此区间上连续（可导必连续），因此存在最大值。由于 $f(x_1) < f(x_0)$ 且 $f(x_2) < f(x_0)$，最大值必在内部点 $x_0$ 处取得（或至少有一个内部最大值点）。由费马定理，在最大值点处导数为零，故存在 $c \in (x_1, x_2) \subset (a, +\infty)$ 使得 $f'(c) = 0$。
公式：$$f'(c) = 0,\quad c \in (x_1, x_2)$$
提示：费马定理要求极值点在内点且函数可导，这里 $x_0$ 是内点且为最大值点，满足条件。
步骤 6/6
目标：由费马定理得到导数为零
由于 $f(x)$ 在 $c$ 处可导且 $c$ 是区间内部的极值点（最大值点），根据费马定理，必有 $f'(c) = 0$。
公式：$f'(c) = 0$
提示：费马定理要求极值点处可导，此处满足条件。
步骤 7/7
目标：总结结论
综合所有情形，均存在一点 $c \in (a, +\infty)$ 使得 $f'(c) = 0$。命题得证。
公式：$\exists c \in (a, +\infty), f'(c) = 0$
提示：本题是罗尔定理在无穷区间上的推广，核心思想是利用极限条件构造闭区间。
步骤 8/8
目标：总结结论
综合两种情况，存在 $c \in (a, +\infty)$ 使得 $f'(c)=0$。
提示：注意 $c$ 的取值区间是 $(a, +\infty)$，证明中构造的 $c$ 确实属于该区间。
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