华南理工大学 2023年数学分析第0题
📝 题目
四．计算 $\displaystyle \iint_{\Sigma}(x+y+z) \mathrm{d} S$ ，其中 $\displaystyle \Sigma$ 为 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ 的上半部分．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：利用对称性简化被积函数
积分曲面Σ是上半球面，关于x和y轴对称。被积函数中的x和y是奇函数，在对称区域上积分为零，因此有：
\[\iint_{\Sigma} x \, dS = 0, \quad \iint_{\Sigma} y \, dS = 0\]
原积分简化为：
\[\iint_{\Sigma} (x+y+z) \, dS = \iint_{\Sigma} z \, dS\]
公式：\iint_{\Sigma} x \, dS = 0, \quad \iint_{\Sigma} y \, dS = 0
提示：注意对称性成立的条件：积分区域关于坐标平面对称，且被积函数为奇函数。
步骤 2/5
目标：将曲面积分转化为二重积分
上半球面方程为 \(z = \sqrt{1 - x^2 - y^2}\)，投影区域为 \(x^2 + y^2 \le 1\)。面积元公式为：
\[dS = \sqrt{1 + \left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^2 + \left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)^2} \, dx\, dy\]
计算偏导数：
\[\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{-x}{\sqrt{1 - x^2 - y^2}}, \quad \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{-y}{\sqrt{1 - x^2 - y^2}}\]
于是：
\[1 + \left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^2 + \left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)^2 = 1 + \frac{x^2}{1 - x^2 - y^2} + \frac{y^2}{1 - x^2 - y^2} = \frac{1}{1 - x^2 - y^2}\]
所以：
\[dS = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2 - y^2}} \, dx\, dy\]
公式：dS = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2 - y^2}} \, dx\, dy
提示：计算偏导时注意符号，但平方后符号消失。
步骤 3/5
目标：代入被积函数并化简
在曲面上 \(z = \sqrt{1 - x^2 - y^2}\)，因此：
\[z \, dS = \sqrt{1 - x^2 - y^2} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - x^2 - y^2}} \, dx\, dy = dx\, dy\]
所以积分化为：
\[\iint_{\Sigma} z \, dS = \iint_{x^2+y^2 \le 1} dx\, dy\]
公式：z \, dS = dx\, dy
提示：注意化简后被积函数变为1，简化了计算。
步骤 4/5
目标：计算二重积分
二重积分 \(\iint_{x^2+y^2 \le 1} dx\, dy\) 表示单位圆盘的面积，半径为1，因此：
\[\iint_{x^2+y^2 \le 1} dx\, dy = \pi \cdot 1^2 = \pi\]
公式：\iint_{x^2+y^2 \le 1} dx\, dy = \pi
提示：单位圆盘面积公式为 \(\pi r^2\)，这里 \(r=1\)。
步骤 5/5
目标：得出最终结果
原曲面积分的结果为：
\[\iint_{\Sigma} (x+y+z) \, dS = \pi\]
公式：\boxed{\pi}
提示：最终答案应写成 \(\boxed{\pi}\) 的形式。
步骤 6/6
目标：得到最终结果
将三项相加：
\[
I = 0 + 0 + \pi = \pi
\]
因此，所求曲面积分为 \(\pi\)。
公式：\iint_{\Sigma}(x+y+z)\,\mathrm{d}S = \pi
提示：最终结果是一个常数，注意检查积分区域和参数范围是否正确。
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