华南理工大学 2024年数学分析第1题
📝 题目
1．（13 分）已知 $\displaystyle a, b>0$ ，且 $\displaystyle c=\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{4}{\ln (1+x)}-\frac{4}{x}\right)$ ，定义函数
$$
f(x)= \begin{cases}\frac{\sin (a x)}{x}, & x<0 \\ c, & x=0 \\ (1+b x)^{\frac{1}{x}}, & x>0\end{cases}
$$
若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 内处处连续，求常数 $\displaystyle a, b$ 和 $c$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：求常数 c
已知 $c = \lim_{x \to 0} \left( \frac{4}{\ln(1+x)} - \frac{4}{x} \right)$。当 $x \to 0$ 时，$\ln(1+x) \sim x - \frac{x^2}{2} + O(x^3)$。通分得：
$$
\frac{4}{\ln(1+x)} - \frac{4}{x} = 4 \cdot \frac{x - \ln(1+x)}{x \ln(1+x)}
$$
将 $\ln(1+x)$ 展开：$\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots$，所以 $x - \ln(1+x) = \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} + \cdots$。分母 $x \ln(1+x) \sim x \cdot x = x^2$。于是
$$
\frac{x - \ln(1+x)}{x \ln(1+x)} \sim \frac{\frac{x^2}{2}}{x^2} = \frac12
$$
因此极限为 $c = 4 \cdot \frac12 = 2$。
公式：c = \lim_{x \to 0} \left( \frac{4}{\ln(1+x)} - \frac{4}{x} \right) = 2
提示：注意使用等价无穷小替换时，分母 $x \ln(1+x)$ 应展开到足够阶数，避免遗漏高阶项导致错误。
步骤 2/4
目标：利用左连续性求 a
函数在 $x=0$ 处连续，要求左极限等于 $f(0)=c=2$。当 $x<0$ 时，$f(x) = \frac{\sin(ax)}{x}$。计算左极限：
$$
\lim_{x \to 0^-} \frac{\sin(ax)}{x} = \lim_{x \to 0^-} a \cdot \frac{\sin(ax)}{ax} = a \cdot 1 = a
$$
由连续性得 $a = 2$。
公式：\lim_{x \to 0} \frac{\sin(ax)}{x} = a
提示：注意 $\lim_{t \to 0} \frac{\sin t}{t} = 1$，这里 $t = ax$，极限值为 $a$，不要遗漏系数。
步骤 3/4
目标：利用右连续性求 b
当 $x>0$ 时，$f(x) = (1+bx)^{1/x}$。计算右极限：
$$
\lim_{x \to 0^+} (1+bx)^{1/x} = \lim_{x \to 0^+} e^{\frac{\ln(1+bx)}{x}}
$$
由于 $\ln(1+bx) \sim bx$（当 $x \to 0$），所以 $\frac{\ln(1+bx)}{x} \to b$，因此极限为 $e^b$。由连续性得 $e^b = 2$，解得 $b = \ln 2$。
公式：\lim_{x \to 0^+} (1+bx)^{1/x} = e^b
提示：处理 $1^\infty$ 型极限时，常用取对数化为 $\frac{\ln(1+bx)}{x}$ 的形式，再使用等价无穷小。
步骤 4/4
目标：总结结果
综合以上步骤，得到常数：
$$
a = 2, \quad b = \ln 2, \quad c = 2
$$
函数在 $x=0$ 处左极限、右极限均等于函数值，因此 $f(x)$ 在 $(-\infty, +\infty)$ 内处处连续。
公式：a=2,\ b=\ln 2,\ c=2
提示：检查连续性时，务必确保分段点两侧极限与函数值相等，缺一不可。
步骤 5/5
目标：建立方程并求解 a, b
由连续性条件：左极限 $a$ 等于 $f(0)=2$，右极限 $e^b$ 也等于 $2$。因此得到方程组：$a=2$，$e^b=2$。解得 $a=2$，$b=\ln 2$。
公式：$a = 2 = e^b \Rightarrow a=2,\, b=\ln 2$
提示：注意 $e^b=2$ 的解是 $b=\ln 2$，不要遗漏对数形式。
步骤 6/8
目标：求右极限
当 $x>0$ 时 $f(x)=(1+bx)^{1/x}$，右极限 $\lim_{x \to 0^+} (1+bx)^{1/x} = e^{\lim_{x \to 0^+} \frac{\ln(1+bx)}{x}} = e^{b}$，因为 $\ln(1+bx) \sim bx$。
公式：$\lim_{x \to 0} (1+ux)^{1/x} = e^u$
提示：注意指数函数的极限转化为指数上的极限，利用等价无穷小。
步骤 7/8
目标：利用连续性建立方程
函数在 $x=0$ 处连续，所以左极限等于右极限等于 $f(0)=c$。因此 $a = c = 2$，且 $e^b = c = 2$。
提示：连续性要求三个值相等，不要遗漏。
步骤 8/8
目标：求解 a 和 b
由 $a=2$，$e^b=2$ 得 $b=\ln 2$。因此 $a=2$，$b=\ln 2$，$c=2$。
提示：注意 $b$ 是对数形式，不要写成 $b=2$。
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