华南理工大学 2024年数学分析第11题
📝 题目
11．（14 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上分段连续，即存在 $\displaystyle [a, b]$ 的一个有限分割 $\displaystyle a=x_{0}<x_{1}< x_{2}<\cdots<x_{n}=b$（其中 $n$ 为固定整数），使得 $\displaystyle f(x)$ 在每个区间 $\displaystyle \left(x_{i-1}, x_{i}\right)$ 上连续且分点 $\displaystyle x_{i}$ 处都存在左右极限．证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上黎曼可积．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：明确已知条件和目标
已知函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上分段连续，即存在有限分割 $a=x_0
提示：注意分段连续的定义：分点处函数值可能未定义或与极限不同，但左右极限存在，因此间断点均为第一类间断点。
步骤 2/4
目标：分析每个子区间上的可积性
对于每个子区间 $[x_{i-1},x_i]$，由于 $f$ 在 $(x_{i-1},x_i)$ 上连续，且 $x_{i-1}$ 处右极限存在、$x_i$ 处左极限存在，因此 $f$ 在 $[x_{i-1},x_i]$ 上只有端点可能为第一类间断点。根据黎曼可积的勒贝格定理：有界函数在闭区间上可积当且仅当它的不连续点集是零测集。这里不连续点至多两个，测度为零，故 $f$ 在每个 $[x_{i-1},x_i]$ 上黎曼可积。
公式：勒贝格定理：$f$ 在 $[c,d]$ 上黎曼可积 $\iff$ $f$ 有界且不连续点集为零测集。
提示：注意需要验证 $f$ 在 $[x_{i-1},x_i]$ 上有界：由于连续函数在闭区间上有界，而端点处左右极限存在，故可补充定义使函数有界。
步骤 3/4
目标：利用积分的可加性证明整体可积
由于 $[a,b]$ 被分割成有限个小区间 $[x_{i-1},x_i]$，且 $f$ 在每个小区间上可积，则 $f$ 在 $[a,b]$ 上也可积。具体地，对任意 $\varepsilon>0$，对每个 $i$，存在 $[x_{i-1},x_i]$ 上的分割 $P_i$，使得该子区间上的振幅（上和减下和）小于 $\varepsilon/n$。将所有 $P_i$ 合并得到 $[a,b]$ 的一个分割 $P$，则 $P$ 上的总振幅小于各段振幅之和，即小于 $\varepsilon$。因此 $f$ 在 $[a,b]$ 上黎曼可积。
公式：设 $U(P,f)-L(P,f)=\sum_{i=1}^n (U(P_i,f)-L(P_i,f)) < n \cdot \frac{\varepsilon}{n} = \varepsilon$。
提示：合并分割时，分点 $x_i$ 可能重复，但不会影响振幅估计，因为单个点的振幅贡献为零。
步骤 4/4
目标：总结结论
综上，分段连续的函数 $f$ 在闭区间 $[a,b]$ 上黎曼可积。
提示：该结论是黎曼积分理论中的基本事实，常用于处理具有有限个间断点的函数。
步骤 5/5
目标：总结结论
综上所述，$f(x)$ 在 $[a,b]$ 上有界，且仅有有限个第一类间断点（左右极限存在）。在每个连续子区间上可积，间断点不影响可积性，由可加性得 $f$ 在 $[a,b]$ 上黎曼可积。
提示：核心思想：有限个间断点不破坏黎曼可积性。
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