华南理工大学 2024年数学分析第3题

要证明连续，只需证明极限\(\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y) = f(0,0)=0\)。对于\((x,y)\neq(0,0)\)，有\(|f(x,y)| = |xy| \cdot |\cos(1/\sqrt{x^2+y^2})| \le |xy|\)。又因为\(|xy| \le (x^2+y^2)/2\)，当\((x,y)\to(0,0)\)时，\((x^2+y^2)/2 \to 0\)。由夹逼定理，极限为0，故连续。

计算\(f_x(0,0)\)：\(f_x(0,0) = \lim_{h\to 0} \frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}\)。当\(h\neq 0\)时，\(f(h,0)=h\cdot0\cdot\cos(1/|h|)=0\)，所以分子为0，极限为0，即\(f_x(0,0)=0\)。同理，\(f_y(0,0)=0\)。

先求\((x,y)\neq(0,0)\)处的偏导数。设\(r=\sqrt{x^2+y^2}\)，则\(f(x,y)=xy\cos(1/r)\)。对\(x\)求偏导：\(f_x(x,y)=y\cos(1/r) + \frac{x^2 y}{r^3}\sin(1/r)\)。考虑路径\(y=x\)，\(x>0\)，则\(r=\sqrt{2}x\)，\(f_x(x,x)=x\cos(1/(\sqrt{2}x)) + \frac{1}{2\sqrt{2}}\sin(1/(\sqrt{2}x))\)。当\(x\to 0^+\)时，第二项振荡无极限，故\(f_x\)在原点不连续。同理\(f_y\)也不连续。

可微需验证\(\lim_{(h,k)\to(0,0)} \frac{f(h,k)-f(0,0)-f_x(0,0)h-f_y(0,0)k}{\sqrt{h^2+k^2}} = 0\)。代入\(f(0,0)=0\)，\(f_x(0,0)=f_y(0,0)=0\)，即证\(\lim_{(h,k)\to(0,0)} \frac{hk\cos(1/\sqrt{h^2+k^2})}{\sqrt{h^2+k^2}} = 0\)。记\(r=\sqrt{h^2+k^2}\)，则分子绝对值\(\le |hk|/r\)。由\(|hk| \le (h^2+k^2)/2 = r^2/2\)，得\(|hk|/r \le r/2 \to 0\)，故极限为0，可微成立。

考虑增量 $\Delta f = f(h,k) - f(0,0) = hk\cos\frac{1}{\sqrt{h^2+k^2}}$。需验证 $\lim_{(h,k)\to(0,0)} \frac{|\Delta f - f_x(0,0)h - f_y(0,0)k|}{\sqrt{h^2+k^2}} = \lim_{(h,k)\to(0,0)} \frac{|hk|}{\sqrt{h^2+k^2}} \left|\cos\frac{1}{\sqrt{h^2+k^2}}\right| = 0$。由于 $\frac{|hk|}{\sqrt{h^2+k^2}} \leq \frac{h^2+k^2}{2\sqrt{h^2+k^2}} = \frac{\sqrt{h^2+k^2}}{2} \to 0$，且 $|\cos| \leq 1$，故极限为0，因此 $f$ 在 $(0,0)$ 可微。

函数 $f(x,y)$ 在 $(0,0)$ 连续、偏导数存在、可微，但偏导数在 $(0,0)$ 不连续。