华南理工大学 2024年数学分析第8题
📝 题目
8．（14 分）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \left(x_{0}-r, x_{0}+r\right)$ 上无穷次可导（其中 $\displaystyle r \in(0,+\infty)$ ），且存在常数 $\displaystyle M>0$ ，使得
$$
\left|f^{(n)}(x)\right| \leq M \frac{n!}{r^{n}}, \forall x \in\left(x_{0}-r, x_{0}+r\right), \forall n=0,1,2, \cdots .
$$
（1）证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x_{0}$ 点的 Taylor 级数 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}\left(x_{0}\right)}{n!}\left(x-x_{0}\right)^{n}$ 在 $\displaystyle \left(x_{0}-r, x_{0}+r\right)$上逐点收敛于 $\displaystyle f(x)$ ．
（2）证明：$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}\left(x_{0}\right)}{n!}\left(x-x_{0}\right)^{n}$ 在 $\displaystyle \left(x_{0}-r, x_{0}+r\right)$ 上内闭一致收敛于 $\displaystyle f(x)$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：写出Taylor展开的Lagrange余项形式
对于任意固定的$x \in (x_0 - r, x_0 + r)$和任意正整数$N$，由Taylor定理，存在介于$x_0$与$x$之间的$\xi$，使得
\[ f(x) = \sum_{k=0}^{N-1} \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!} (x - x_0)^k + \frac{f^{(N)}(\xi)}{N!} (x - x_0)^N. \]
记余项$R_N(x) = \frac{f^{(N)}(\xi)}{N!} (x - x_0)^N$。
公式：R_N(x) = \frac{f^{(N)}(\xi)}{N!} (x - x_0)^N
提示：注意Lagrange余项中的$\xi$依赖于$x$和$N$，但不需要具体求出。
步骤 2/6
目标：利用已知导数界估计余项绝对值
由题设条件，对任意$n$和任意$x \in (x_0 - r, x_0 + r)$有$|f^{(n)}(x)| \leq M \frac{n!}{r^n}$。代入余项表达式得
\[ |R_N(x)| \leq \frac{M \cdot N!}{r^N} \cdot \frac{|x - x_0|^N}{N!} = M \left( \frac{|x - x_0|}{r} \right)^N. \]
公式：|R_N(x)| \leq M \left( \frac{|x - x_0|}{r} \right)^N
提示：约去$N!$是关键的简化步骤，注意$\xi$也在区间内，因此导数界适用。
步骤 3/6
目标：证明逐点收敛
对于固定的$x$，由于$|x - x_0| < r$，令$q = \frac{|x - x_0|}{r} < 1$，则$|R_N(x)| \leq M q^N$。当$N \to \infty$时，$q^N \to 0$，故$R_N(x) \to 0$。因此Taylor级数在$x$处收敛到$f(x)$。由$x$的任意性，得证逐点收敛。
公式：\lim_{N \to \infty} |R_N(x)| = 0
提示：这里$q$是小于1的常数，依赖于$x$，但逐点收敛只需对每个$x$分别考虑。
步骤 4/6
目标：引入内闭一致收敛的证明框架
取任意闭区间$[a,b] \subset (x_0 - r, x_0 + r)$。令$\delta = \max\{|a - x_0|, |b - x_0|\}$，则$\delta < r$，且对任意$x \in [a,b]$有$|x - x_0| \leq \delta$。
公式：\delta = \max\{|a - x_0|, |b - x_0|\} < r
提示：$\delta$是闭区间上点到$x_0$的最大距离，它严格小于$r$。
步骤 5/6
目标：得到一致余项估计
对任意$x \in [a,b]$和任意$N$，由第2步的估计得
\[ |R_N(x)| \leq M \left( \frac{|x - x_0|}{r} \right)^N \leq M \left( \frac{\delta}{r} \right)^N. \]
由于$\frac{\delta}{r} < 1$，上界$M(\delta/r)^N$与$x$无关，且当$N \to \infty$时趋于0。
公式：\sup_{x \in [a,b]} |R_N(x)| \leq M \left( \frac{\delta}{r} \right)^N \to 0
提示：一致收敛要求余项的上确界趋于0，这里得到了一个与$x$无关的控制。
步骤 6/6
目标：总结内闭一致收敛
由一致余项估计知，Taylor级数的部分和在$[a,b]$上一致收敛到$f(x)$。由于$[a,b]$是$(x_0 - r, x_0 + r)$内任意闭区间，故级数在$(x_0 - r, x_0 + r)$上内闭一致收敛。
公式：\text{级数在任意闭子区间上一致收敛}
提示：内闭一致收敛是指对区间内任意闭子区间一致收敛，而非在整个开区间上一致收敛。
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