华南理工大学 2024年数学分析第9题

已知 \( f(x) \) 在 \([a, b]\) 上黎曼可积，因此 \( f(x) \) 有界且几乎处处连续。要证明： \[ \lim_{\lambda \to +\infty} \int_a^b f(x) \cos(\lambda x) \, dx = 0. \]

设 \( f(x) \) 为阶梯函数，存在划分 \( a = x_0 < x_1 < \cdots < x_n = b \)，在每个小区间 \((x_{k-1}, x_k)\) 上 \( f(x) = c_k \)（常数）。则 \[ \int_a^b f(x) \cos(\lambda x) \, dx = \sum_{k=1}^n c_k \int_{x_{k-1}}^{x_k} \cos(\lambda x) \, dx. \] 计算内积分： \[ \int_{x_{k-1}}^{x_k} \cos(\lambda x) \, dx = \frac{\sin(\lambda x_k) - \sin(\lambda x_{k-1})}{\lambda}. \] 因此 \[ \left| \int_a^b f(x) \cos(\lambda x) \, dx \right| \le \sum_{k=1}^n |c_k| \cdot \frac{2}{\lambda}. \] 当 \(\lambda \to +\infty\) 时，右边趋于 0。

对任意 \(\varepsilon > 0\)，由于 \( f \) 黎曼可积，存在阶梯函数 \( g(x) \) 使得 \[ \int_a^b |f(x) - g(x)| \, dx < \varepsilon. \] 将积分拆分为两部分： \[ \left| \int_a^b f(x) \cos(\lambda x) \, dx \right| \le \left| \int_a^b (f(x)-g(x)) \cos(\lambda x) \, dx \right| + \left| \int_a^b g(x) \cos(\lambda x) \, dx \right|. \] 第一项： \[ \left| \int_a^b (f(x)-g(x)) \cos(\lambda x) \, dx \right| \le \int_a^b |f(x)-g(x)| \, dx < \varepsilon. \] 第二项：由阶梯函数情形，存在 \(\Lambda > 0\)，当 \(\lambda > \Lambda\) 时， \[ \left| \int_a^b g(x) \cos(\lambda x) \, dx \right| < \varepsilon. \] 因此当 \(\lambda > \Lambda\) 时， \[ \left| \int_a^b f(x) \cos(\lambda x) \, dx \right| < 2\varepsilon. \] 由 \(\varepsilon\) 的任意性，极限为 0。

综合以上步骤，对于任意在 \([a, b]\) 上黎曼可积的函数 \( f(x) \)，都有 \[ \lim_{\lambda \to +\infty} \int_a^b f(x) \cos(\lambda x) \, dx = 0. \] 证毕。

对任意给定的 \(\varepsilon > 0\)，存在足够大的 \(\lambda\) 使得 \[ \left| \int_a^b f(x) \cos(\lambda x) \, dx \right| < 2\varepsilon. \] 由极限的定义，这证明了 \[ \lim_{\lambda \to +\infty} \int_a^b f(x) \cos(\lambda x) \, dx = 0. \]

因此，对于任意在 \([a, b]\) 上黎曼可积的函数 \(f(x)\)，都有 \[ \boxed{\lim_{\lambda \rightarrow+\infty} \int_{a}^{b} f(x) \cos (\lambda x) \mathrm{d} x=0} \] 证明完成。

对所有子区间求和得 \[ \left|\int_a^b f(x)\cos(\lambda x)dx\right| \leq \sum_{i=1}^n \omega_i \Delta x_i + \frac{2nM}{\lambda} < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{2nM}{\lambda}. \] 取 $\lambda > \frac{4nM}{\varepsilon}$，则 $\frac{2nM}{\lambda} < \frac{\varepsilon}{2}$，从而 \[ \left|\int_a^b f(x)\cos(\lambda x)dx\right| < \varepsilon. \] 由 $\varepsilon$ 的任意性，即得 $\lim_{\lambda\to+\infty}\int_a^b f(x)\cos(\lambda x)dx = 0$。