华南理工大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
1．设 $\displaystyle x_{0}=2, x_{n+1}=\frac{1}{2}\left(x_{n}+\frac{3}{x_{n}}\right)(n=0,1, \cdots)$ ，证明： $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=\sqrt{3}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：证明数列有下界
由递推公式 $x_{n+1} = \frac{1}{2}\left(x_n + \frac{3}{x_n}\right)$，对任意正数 $x_n$，应用均值不等式：$\frac{1}{2}\left(x_n + \frac{3}{x_n}\right) \ge \sqrt{x_n \cdot \frac{3}{x_n}} = \sqrt{3}$。因此对所有 $n \ge 0$，有 $x_n \ge \sqrt{3}$，即数列有下界 $\sqrt{3}$。
公式：$x_{n+1} \ge \sqrt{3}$
提示：注意均值不等式要求 $x_n > 0$，初始值 $x_0=2>0$，且递推保持正性，故可放心使用。
步骤 2/5
目标：证明数列单调递减
考虑相邻两项的差：$x_{n+1} - x_n = \frac{1}{2}\left(x_n + \frac{3}{x_n}\right) - x_n = \frac{1}{2}\left(-x_n + \frac{3}{x_n}\right) = \frac{3 - x_n^2}{2x_n}$。由第一步知 $x_n \ge \sqrt{3}$，故 $x_n^2 \ge 3$，分子 $3 - x_n^2 \le 0$，分母 $2x_n > 0$，因此 $x_{n+1} - x_n \le 0$，即数列单调递减。
公式：$x_{n+1} - x_n = \frac{3 - x_n^2}{2x_n} \le 0$
提示：单调递减的证明依赖于下界结论，注意符号判断时需确保分母为正。
步骤 3/5
目标：证明极限存在
数列单调递减且有下界 $\sqrt{3}$，根据单调有界定理，数列极限存在。设极限为 $L$，则 $L \ge \sqrt{3}$。
公式：单调有界定理
提示：单调递减有下界是极限存在的充分条件，无需额外验证。
步骤 4/5
目标：求极限值
对递推式两边取极限，$n \to \infty$ 时 $x_n \to L$，$x_{n+1} \to L$，代入得 $L = \frac{1}{2}\left(L + \frac{3}{L}\right)$。两边乘以2：$2L = L + \frac{3}{L}$，整理得 $L = \frac{3}{L}$，即 $L^2 = 3$。由于数列各项为正，$L > 0$，故 $L = \sqrt{3}$。
公式：$L = \frac{1}{2}\left(L + \frac{3}{L}\right) \Rightarrow L^2 = 3 \Rightarrow L = \sqrt{3}$
提示：取极限时需保证极限存在，且递推式连续。注意舍去负根。
步骤 5/5
目标：总结结论
综上，数列 $\{x_n\}$ 单调递减且有下界，极限存在，且极限值为 $\sqrt{3}$。
公式：$\lim_{n \to \infty} x_n = \sqrt{3}$
提示：最终答案需明确写出极限值。
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