📝 华南理工大学 2026年数学分析真题
第0题
1．设 $\displaystyle x_{0}=2, x_{n+1}=\frac{1}{2}\left(x_{n}+\frac{3}{x_{n}}\right)(n=0,1, \cdots)$ ，证明： $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=\sqrt{3}$ ．
第0题
2．$f(x)=x^{2} \sin x$ 在 $0 \leq x<+\infty$ 上是否一致连续？给出证明．
第0题
3．$f$ 在 $[0,2]$ 上二阶连续可微，且 $\left|f^{\prime \prime}(x)\right| \leq M$ ．若 $f$ 在 $(0,2)$ 内能取到最大值，证明：
$$
\left|f^{\prime}(0)+f^{\prime}(2)\right| \leq 2 M
$$
$$
\left|f^{\prime}(0)+f^{\prime}(2)\right| \leq 2 M
$$
第0题
4．已知 $f(x)$ 在 $[A, B]$ 上黎曼可积，证明： $\lim _{h \rightarrow 0} \int_{a}^{b}|f(x+h)-f(x)| \mathrm{d} x=0$ ，其中 $A<a<b<B$ ．
第0题
5．设 $f(t)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上连续且绝对可积．证明：$g(w)=\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \cos (w t) \mathrm{d} t$ 在 $w \in(-\infty,+\infty)$上有界且一致连续．
第0题
6．判断 $\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \ln \left(1+\frac{(-1)^{n}}{n^{\alpha}}\right)(\alpha>0)$ 的绝对收敛性，条件收敛性，发散性．
第0题
7．解答如下问题：
（1）求 $|\sin x|$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上的傅里叶级数，该级数是否一致收敛？
（2）若 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上黎曼可积，证明： $\displaystyle \lim _{\lambda \rightarrow+\infty} \int_{a}^{b} f(x)|\sin \lambda x| \mathrm{d} x=\frac{2}{\pi} \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x$ ．
（1）求 $|\sin x|$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上的傅里叶级数，该级数是否一致收敛？
（2）若 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上黎曼可积，证明： $\displaystyle \lim _{\lambda \rightarrow+\infty} \int_{a}^{b} f(x)|\sin \lambda x| \mathrm{d} x=\frac{2}{\pi} \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x$ ．
第0题
8．记区域 $D: 0 \leq x \leq 1,0 \leq y \leq 1$ ，证明：$e^{x y}+\ln (1+x y) \geq 1+x y$ ，并说明取等条件．
第0题
9．已知
$$
f(x, y)= \begin{cases}\frac{x^{3}}{x^{2}+y^{2}}, & x^{2}+y^{2} \neq 0 \\ 0, & x^{2}+y^{2} \neq 0\left(\text { 应该是 } x^{2}+y^{2}=0\right)\end{cases}
$$
（1）若 $x=x(t), y=y(t)$ 是过原点的任意可微曲线（即 $t=0$ 时，$x^{2}(0)+y^{2}(0)=0 ; t \neq 0$ 时， $\left.x^{2}(t)+y^{2}(t) \neq 0\right)$ ，证明：$f(x(t), y(t))$ 可微．
（2）求证 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处不可微．
$$
f(x, y)= \begin{cases}\frac{x^{3}}{x^{2}+y^{2}}, & x^{2}+y^{2} \neq 0 \\ 0, & x^{2}+y^{2} \neq 0\left(\text { 应该是 } x^{2}+y^{2}=0\right)\end{cases}
$$
（1）若 $x=x(t), y=y(t)$ 是过原点的任意可微曲线（即 $t=0$ 时，$x^{2}(0)+y^{2}(0)=0 ; t \neq 0$ 时， $\left.x^{2}(t)+y^{2}(t) \neq 0\right)$ ，证明：$f(x(t), y(t))$ 可微．
（2）求证 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处不可微．
第0题
1．求 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{(5+x)^{x}-5^{x}}{x^{2}}$ ．
第0题
2．求
$$
I=\int_{L}\left(x^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} y+\left(y^{2}+x^{2}\right) \mathrm{d} z
$$
$L$ 是 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=2 a x$ 与 $y^{2}+x^{2}=2 b x$ 的交线，方向是经由 $y>0$ 的方向再回到原点 $(a>b)$ ．
$$
I=\int_{L}\left(x^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} y+\left(y^{2}+x^{2}\right) \mathrm{d} z
$$
$L$ 是 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=2 a x$ 与 $y^{2}+x^{2}=2 b x$ 的交线，方向是经由 $y>0$ 的方向再回到原点 $(a>b)$ ．
第0题
3．（可能有误）已知 $f(x, y, z)=x^{2}+y^{2}-z, \Sigma$ 是一光滑封闭曲面，$\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$ 是单位球体上的一点， $\mathbf{n}$是 $\Sigma$ 的单位外法向量，计算
$$
I=\iint_{\Sigma}\left(f \frac{\cos (\widehat{r, n})}{r^{2}}+\frac{1}{r} \frac{\partial f}{\partial n}\right) \mathrm{d} S
$$
其中 $\mathbf{r}=\left(x-x_{0}, y-y_{0}, z-z_{0}\right), r=|\mathbf{r}|$ 。（ $I$ 应该无误，其余 $\Sigma, \mathbf{n}$ 等有关叙述可能不太准则）
$$
I=\iint_{\Sigma}\left(f \frac{\cos (\widehat{r, n})}{r^{2}}+\frac{1}{r} \frac{\partial f}{\partial n}\right) \mathrm{d} S
$$
其中 $\mathbf{r}=\left(x-x_{0}, y-y_{0}, z-z_{0}\right), r=|\mathbf{r}|$ 。（ $I$ 应该无误，其余 $\Sigma, \mathbf{n}$ 等有关叙述可能不太准则）