华南理工大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
9．已知
$$
f(x, y)= \begin{cases}\frac{x^{3}}{x^{2}+y^{2}}, & x^{2}+y^{2} \neq 0 \\ 0, & x^{2}+y^{2} \neq 0\left(\text { 应该是 } x^{2}+y^{2}=0\right)\end{cases}
$$
（1）若 $x=x(t), y=y(t)$ 是过原点的任意可微曲线（即 $t=0$ 时，$x^{2}(0)+y^{2}(0)=0 ; t \neq 0$ 时， $\left.x^{2}(t)+y^{2}(t) \neq 0\right)$ ，证明：$f(x(t), y(t))$ 可微．
（2）求证 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处不可微．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：修正题目中的笔误，明确函数定义
题目中第二个条件应为 $x^2+y^2=0$，即原点处函数值为 $0$。修正后函数为：
$$
f(x,y)=
\begin{cases}
\dfrac{x^3}{x^2+y^2}, & (x,y)\neq (0,0) \\
0, & (x,y)=(0,0)
\end{cases}
$$
公式：f(x,y)=\begin{cases}\frac{x^3}{x^2+y^2}, & (x,y)\neq (0,0)\\0, & (x,y)=(0,0)\end{cases}
提示：注意区分分段函数在不同区域的定义，原点处单独定义。
步骤 2/8
目标：证明复合函数在非零点可微
当 $t\neq 0$ 时，$(x(t),y(t))\neq (0,0)$，因此 $F(t)=f(x(t),y(t))=\frac{x(t)^3}{x(t)^2+y(t)^2}$。由于 $x(t),y(t)$ 可微且分母不为零，由商的求导法则，$F(t)$ 在 $t\neq 0$ 处可微。
公式：F(t)=\frac{x(t)^3}{x(t)^2+y(t)^2}
提示：可微函数的商在分母非零时仍可微。
步骤 3/8
目标：分析曲线在原点附近的展开，处理切向量非零情形
由于曲线过原点且可微，在 $t=0$ 附近有展开：$x(t)=a t+o(t),\ y(t)=b t+o(t)$，其中 $a=x'(0),\ b=y'(0)$。先考虑 $(a,b)\neq(0,0)$ 的情形。计算：
$$
x(t)^3 = a^3 t^3 + o(t^3),\quad x(t)^2+y(t)^2 = (a^2+b^2)t^2 + o(t^2)
$$
于是
$$
F(t) = \frac{a^3 t^3 + o(t^3)}{(a^2+b^2)t^2 + o(t^2)} = \frac{a^3}{a^2+b^2}t + o(t)
$$
因此 $F(0)=0$，且
$$
\lim_{t\to 0}\frac{F(t)-F(0)}{t} = \frac{a^3}{a^2+b^2}
$$
导数存在，故 $F(t)$ 在 $t=0$ 可微。
公式：\lim_{t\to 0}\frac{F(t)-F(0)}{t} = \frac{a^3}{a^2+b^2}
提示：注意 $a^2+b^2>0$ 保证分母非零，展开时保留到一阶项即可。
步骤 4/8
目标：处理切向量为零的情形（a=b=0）
若 $a=b=0$，则 $x(t)=o(t),\ y(t)=o(t)$。可设 $x(t)=t\alpha(t),\ y(t)=t\beta(t)$，其中 $\alpha(t),\beta(t)\to 0$（当 $t\to 0$）。代入得：
$$
F(t) = \frac{t^3\alpha(t)^3}{t^2(\alpha(t)^2+\beta(t)^2)} = t\cdot\frac{\alpha(t)^3}{\alpha(t)^2+\beta(t)^2}
$$
由于 $\left|\frac{\alpha^3}{\alpha^2+\beta^2}\right| \leq |\alpha|$，故 $F(t)=O(t)$，从而差商 $\frac{F(t)-0}{t}$ 有界且极限为 $0$。因此 $F'(0)=0$，可微。
公式：F(t)=t\cdot\frac{\alpha(t)^3}{\alpha(t)^2+\beta(t)^2}
提示：注意 $\alpha(t)^2+\beta(t)^2$ 可能为零，但此时 $\alpha=\beta=0$，$F(t)=0$，结论仍成立。
步骤 5/8
目标：总结（1）的结论
无论切向量是否为零，$F(t)=f(x(t),y(t))$ 在 $t=0$ 处导数均存在，从而在 $t=0$ 处可微。又已知在 $t\neq 0$ 时可微，故 $F(t)$ 在全体实数上可微。
提示：注意可微性在每点分别验证，原点处是关键。
步骤 6/8
目标：开始证明（2）：计算偏导数
计算 $f$ 在原点处的偏导数：
$$
f_x(0,0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(h,0)-0}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{h^3/h^2}{h}=1
$$
$$
f_y(0,0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(0,h)-0}{h}=0
$$
公式：f_x(0,0)=1,\quad f_y(0,0)=0
提示：偏导数存在是函数可微的必要条件，但非充分。
步骤 7/8
目标：假设可微并导出矛盾
若 $f$ 在原点可微，则全微分公式成立：
$$
f(x,y)-f(0,0)=1\cdot x+0\cdot y+o\left(\sqrt{x^2+y^2}\right)
$$
即 $f(x,y)=x+o(\sqrt{x^2+y^2})$。取路径 $y=x$，当 $x\to 0$ 时：
$$
f(x,x)=\frac{x^3}{x^2+x^2}=\frac{x}{2}
$$
但 $x+o(|x|)$ 沿此路径的主项为 $x$，实际值为 $x/2$，差为 $-x/2$，与 $o(|x|)$ 矛盾（因为 $-x/2$ 与 $|x|$ 同阶，不是高阶无穷小）。故假设不成立，$f$ 在原点不可微。
公式：f(x,x)=\frac{x}{2},\quad \text{而全微分要求 } f(x,x)=x+o(|x|)
提示：选择特殊路径 $y=x$ 可以暴露矛盾，注意 $o(|x|)$ 表示比 $|x|$ 更高阶的无穷小。
步骤 8/8
目标：总结（2）的结论
函数 $f(x,y)$ 在原点处偏导数存在，但不满足全微分条件，因此 $f$ 在原点处不可微。
提示：偏导数存在且连续是可微的充分条件，但本题偏导数不连续。
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