华南理工大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
1．求 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{(5+x)^{x}-5^{x}}{x^{2}}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：将表达式改写为指数形式
将 $(5+x)^x$ 和 $5^x$ 分别写成指数形式：$(5+x)^x = e^{x \ln(5+x)}$，$5^x = e^{x \ln 5}$。因此分子为 $e^{x\ln(5+x)} - e^{x\ln 5}$。
公式：(5+x)^x = e^{x \ln(5+x)}, \quad 5^x = e^{x \ln 5}
提示：注意指数形式的转换是处理幂指函数极限的常用技巧。
步骤 2/5
目标：对指数部分进行泰勒展开
当 $x \to 0$ 时，$\ln(5+x) = \ln 5 + \ln\left(1+\frac{x}{5}\right)$。对 $\ln\left(1+\frac{x}{5}\right)$ 展开：$\ln\left(1+\frac{x}{5}\right) = \frac{x}{5} - \frac{x^2}{2\cdot 25} + O(x^3) = \frac{x}{5} - \frac{x^2}{50} + O(x^3)$。于是 $x\ln(5+x) = x\ln 5 + \frac{x^2}{5} - \frac{x^3}{50} + O(x^4)$。
公式：\ln(5+x) = \ln 5 + \frac{x}{5} - \frac{x^2}{50} + O(x^3)
提示：展开时注意保留到足够高阶的项，这里需要到 $x^2$ 项，因此 $\ln$ 展开到 $x^2$ 即可。
步骤 3/5
目标：展开指数函数 $e^{x\ln(5+x)}$
令 $a = x\ln 5$，$h = \frac{x^2}{5} - \frac{x^3}{50} + O(x^4)$，则 $e^{x\ln(5+x)} = e^{a+h} = e^a \left(1 + h + \frac{h^2}{2} + \cdots\right)$。代入得：$e^{x\ln(5+x)} = 5^x \left[1 + \left(\frac{x^2}{5} - \frac{x^3}{50} + \cdots\right) + \frac{1}{2}\left(\frac{x^2}{5} + \cdots\right)^2 + \cdots\right]$。忽略 $x^3$ 及以上高阶项，得到 $e^{x\ln(5+x)} = 5^x \left(1 + \frac{x^2}{5} + O(x^3)\right)$。
公式：e^{x\ln(5+x)} = 5^x \left(1 + \frac{x^2}{5} + O(x^3)\right)
提示：注意 $h$ 中 $x^2$ 项是主要项，$h^2$ 项是 $x^4$ 阶，不影响 $x^2$ 项。
步骤 4/5
目标：化简分子
分子为 $e^{x\ln(5+x)} - 5^x = 5^x \left(1 + \frac{x^2}{5} + O(x^3)\right) - 5^x = 5^x \cdot \frac{x^2}{5} + O(x^3)$。当 $x \to 0$ 时，$5^x \to 1$，因此分子等价于 $\frac{x^2}{5} + O(x^3)$。
公式：(5+x)^x - 5^x = \frac{x^2}{5} + O(x^3)
提示：注意 $5^x$ 在 $x=0$ 处值为1，但保留它不影响极限计算。
步骤 5/5
目标：求极限
原极限为 $\lim_{x\to 0} \frac{\frac{x^2}{5} + O(x^3)}{x^2} = \lim_{x\to 0} \left(\frac{1}{5} + O(x)\right) = \frac{1}{5}$。
公式：\lim_{x\to 0} \frac{(5+x)^x - 5^x}{x^2} = \frac{1}{5}
提示：高阶项 $O(x^3)/x^2 = O(x) \to 0$，因此极限为 $\frac{1}{5}$。
步骤 6/6
目标：代入原极限并得出结果
将等价无穷小结果代入原极限：
$\lim_{x \to 0} \frac{(5+x)^x - 5^x}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{x^2}{5}}{x^2} = \frac{1}{5}$。
公式：\lim_{x \to 0} \frac{\frac{x^2}{5}}{x^2} = \frac{1}{5}
提示：代入后约去 $x^2$ 即得常数，注意分母 $x^2$ 不能为零，但极限过程允许。
步骤 7/7
目标：求极限
将分子差代入原极限：
$$\lim_{x \to 0} \frac{\frac{x^2}{5} + o(x^2)}{x^2} = \lim_{x \to 0} \left(\frac{1}{5} + \frac{o(x^2)}{x^2}\right) = \frac{1}{5}.$$
公式：$\lim_{x \to 0} \frac{o(x^2)}{x^2} = 0$
提示：注意 $o(x^2)$ 是比 $x^2$ 高阶的无穷小，所以除以 $x^2$ 后极限为 $0$。
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