华南理工大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
5．设 $f(t)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上连续且绝对可积．证明：$g(w)=\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \cos (w t) \mathrm{d} t$ 在 $w \in(-\infty,+\infty)$上有界且一致连续．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：证明有界性
已知 $f(t)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上绝对可积，即 $\int_{-\infty}^{+\infty} |f(t)| \, dt < +\infty$。对于任意 $w \in \mathbb{R}$，有 $|g(w)| = \left| \int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \cos(wt) \, dt \right| \le \int_{-\infty}^{+\infty} |f(t) \cos(wt)| \, dt$。由于 $|\cos(wt)| \le 1$，因此 $|g(w)| \le \int_{-\infty}^{+\infty} |f(t)| \, dt$，右边为有限常数，故 $g(w)$ 在 $\mathbb{R}$ 上有界。
公式：$|g(w)| \le \int_{-\infty}^{+\infty} |f(t)| \, dt$
提示：注意绝对值不等式和三角函数的界，不要忘记绝对可积的定义。
步骤 2/6
目标：建立一致连续性的估计框架
要证明一致连续性，即对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $\delta > 0$，使得当 $|w_1 - w_2| < \delta$ 时，$|g(w_1) - g(w_2)| < \varepsilon$。计算差值：$g(w_1) - g(w_2) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(t)[\cos(w_1 t) - \cos(w_2 t)] \, dt$。利用三角恒等式 $\cos A - \cos B = -2 \sin\left(\frac{A+B}{2}\right) \sin\left(\frac{A-B}{2}\right)$，可得 $|\cos(w_1 t) - \cos(w_2 t)| \le 2 \left| \sin\left(\frac{(w_1-w_2)t}{2}\right) \right|$。
公式：$|\cos(w_1 t) - \cos(w_2 t)| \le 2 \left| \sin\left(\frac{(w_1-w_2)t}{2}\right) \right|$
提示：注意三角恒等式的正确使用，避免符号错误。
步骤 3/6
目标：初步估计的局限性分析
利用 $|\sin x| \le |x|$，可得 $|\cos(w_1 t) - \cos(w_2 t)| \le |w_1 - w_2| \, |t|$。于是 $|g(w_1)-g(w_2)| \le |w_1 - w_2| \int_{-\infty}^{+\infty} |t f(t)| \, dt$。但题目只假设 $f$ 绝对可积，未保证 $t f(t)$ 绝对可积，因此该不等式不能直接用于证明一致连续性，需要更精细的分段处理。
公式：$|g(w_1)-g(w_2)| \le |w_1 - w_2| \int_{-\infty}^{+\infty} |t f(t)| \, dt$
提示：注意条件限制，不能随意假设 $t f(t)$ 可积，这是常见陷阱。
步骤 4/6
目标：分段估计：处理尾部积分
由于 $f$ 绝对可积，对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $T > 0$ 使得 $\int_{|t| > T} |f(t)| \, dt < \frac{\varepsilon}{4}$。对于 $|t| > T$ 的部分，有 $|\cos(w_1 t) - \cos(w_2 t)| \le 2$，因此 $\int_{|t| > T} |f(t)| |\cos(w_1 t) - \cos(w_2 t)| \, dt \le 2 \int_{|t| > T} |f(t)| \, dt < \frac{\varepsilon}{2}$。
公式：$\int_{|t| > T} |f(t)| \, dt < \frac{\varepsilon}{4}$
提示：尾部积分的选取依赖于 $\varepsilon$，需确保后续估计能控制总误差。
步骤 5/6
目标：分段估计：处理有限区间部分
对于 $|t| \le T$ 的部分，利用 $|\cos(w_1 t) - \cos(w_2 t)| \le |w_1 - w_2| \, T$，可得 $\int_{|t| \le T} |f(t)| |\cos(w_1 t) - \cos(w_2 t)| \, dt \le |w_1 - w_2| \, T \int_{|t| \le T} |f(t)| \, dt \le |w_1 - w_2| \, T \, M$，其中 $M = \int_{-\infty}^{+\infty} |f(t)| \, dt$。
公式：$\int_{|t| \le T} |f(t)| |\cos(w_1 t) - \cos(w_2 t)| \, dt \le |w_1 - w_2| \, T \, M$
提示：这里 $M$ 是有限常数，注意 $T$ 依赖于 $\varepsilon$，但 $M$ 是固定的。
步骤 6/6
目标：选择 $\delta$ 并完成一致连续性证明
取 $\delta = \frac{\varepsilon}{2 T M}$，则当 $|w_1 - w_2| < \delta$ 时，有限区间部分小于 $\frac{\varepsilon}{2}$，尾部部分小于 $\frac{\varepsilon}{2}$，因此 $|g(w_1)-g(w_2)| < \varepsilon$。由于 $\delta$ 只依赖于 $\varepsilon$ 和固定的 $T, M$，与 $w_1, w_2$ 的具体位置无关，故 $g(w)$ 在 $\mathbb{R}$ 上一致连续。
公式：$\delta = \frac{\varepsilon}{2 T M}$
提示：确保 $\delta$ 的选取使得两部分误差之和小于 $\varepsilon$，且 $\delta$ 与 $w$ 无关。
步骤 7/7
目标：选取 $\delta$ 并完成一致连续性证明
取 $\delta = \frac{\varepsilon}{2T \int_{-\infty}^{+\infty} |f(t)| \, dt}$，则当 $|w_1-w_2| < \delta$ 时，有限区间部分 $\le |w_1-w_2| T \int_{-\infty}^{+\infty} |f(t)| \, dt < \frac{\varepsilon}{2}$，加上无穷区间部分 $< \frac{\varepsilon}{2}$，得 $|g(w_1)-g(w_2)| < \varepsilon$。由于 $\delta$ 只依赖于 $\varepsilon$ 而不依赖于 $w_1,w_2$，故 $g(w)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上一致连续。
公式：\delta = \frac{\varepsilon}{2T \int_{-\infty}^{+\infty} |f(t)| \, dt}
提示：注意 $T$ 由 $\varepsilon$ 决定，因此 $\delta$ 最终只依赖于 $\varepsilon$，满足一致连续定义。
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