华南理工大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
3．（可能有误）已知 $f(x, y, z)=x^{2}+y^{2}-z, \Sigma$ 是一光滑封闭曲面，$\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$ 是单位球体上的一点， $\mathbf{n}$是 $\Sigma$ 的单位外法向量，计算
$$
I=\iint_{\Sigma}\left(f \frac{\cos (\widehat{r, n})}{r^{2}}+\frac{1}{r} \frac{\partial f}{\partial n}\right) \mathrm{d} S
$$
其中 $\mathbf{r}=\left(x-x_{0}, y-y_{0}, z-z_{0}\right), r=|\mathbf{r}|$ 。（ $I$ 应该无误，其余 $\Sigma, \mathbf{n}$ 等有关叙述可能不太准则）
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：将曲面积分转化为向量场的通量形式
由题意，$\cos(\widehat{\mathbf{r}, \mathbf{n}}) = \frac{\mathbf{r} \cdot \mathbf{n}}{r}$，因此第一项化为 $f \frac{\mathbf{r} \cdot \mathbf{n}}{r^3}$。第二项中 $\frac{\partial f}{\partial n} = \nabla f \cdot \mathbf{n}$，故被积函数为 $\left( f \frac{\mathbf{r}}{r^3} + \frac{1}{r} \nabla f \right) \cdot \mathbf{n}$。定义向量场 $\mathbf{F} = \frac{f}{r^3} \mathbf{r} + \frac{1}{r} \nabla f$，则 $I = \iint_\Sigma \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} \, dS$。
公式：$$\mathbf{F} = \frac{f}{r^3} \mathbf{r} + \frac{1}{r} \nabla f, \quad I = \iint_\Sigma \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} \, dS$$
提示：注意 $\cos(\widehat{\mathbf{r}, \mathbf{n}})$ 的定义，避免符号错误。
步骤 2/6
目标：应用高斯散度定理
由于 $\Sigma$ 是光滑封闭曲面，$\mathbf{n}$ 为单位外法向量，由高斯散度定理，$I = \iiint_V \nabla \cdot \mathbf{F} \, dV$，其中 $V$ 是 $\Sigma$ 所围成的区域。
公式：$$I = \iiint_V \nabla \cdot \mathbf{F} \, dV$$
提示：高斯定理要求向量场在 $V$ 内连续可微，注意奇异点 $(x_0, y_0, z_0)$ 的处理。
步骤 3/6
目标：计算散度 $\nabla \cdot \mathbf{F}$（忽略奇异点）
将 $\mathbf{F}$ 分为两部分：$\mathbf{F}_1 = f \frac{\mathbf{r}}{r^3}$，$\mathbf{F}_2 = \frac{1}{r} \nabla f$。
对于 $\mathbf{F}_1$，利用乘积法则：$\nabla \cdot \mathbf{F}_1 = f \nabla \cdot \left( \frac{\mathbf{r}}{r^3} \right) + \nabla f \cdot \frac{\mathbf{r}}{r^3}$。在 $r \neq 0$ 处，$\nabla \cdot \left( \frac{\mathbf{r}}{r^3} \right) = 0$，故 $\nabla \cdot \mathbf{F}_1 = \nabla f \cdot \frac{\mathbf{r}}{r^3}$。
对于 $\mathbf{F}_2$：$\nabla \cdot \mathbf{F}_2 = \frac{1}{r} \nabla \cdot (\nabla f) + \nabla \left( \frac{1}{r} \right) \cdot \nabla f = \frac{\Delta f}{r} - \frac{\mathbf{r} \cdot \nabla f}{r^3}$。
相加得：$\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\Delta f}{r}$。
公式：$$\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\Delta f}{r} \quad (r \neq 0)$$
提示：注意 $\nabla(1/r) = -\mathbf{r}/r^3$，以及 $\nabla \cdot (\mathbf{r}/r^3)=0$ 仅在 $r>0$ 成立。
步骤 4/6
目标：计算 $f$ 的拉普拉斯算子
已知 $f(x, y, z) = x^2 + y^2 - z$，则 $\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = 2$，$\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = 2$，$\frac{\partial^2 f}{\partial z^2} = 0$，故 $\Delta f = 4$。因此 $\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{4}{r}$（$r \neq 0$）。
公式：$$\Delta f = 4, \quad \nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{4}{r}$$
提示：拉普拉斯算子是标量，计算时注意二阶偏导的符号。
步骤 5/6
目标：考虑奇异点 $(x_0, y_0, z_0)$ 的贡献
在 $r=0$ 处，$\nabla \cdot \left( \frac{\mathbf{r}}{r^3} \right) = 4\pi \delta(\mathbf{r})$，因此完整的散度包含狄拉克δ函数项：$\nabla \cdot \mathbf{F} = 4\pi f(x_0, y_0, z_0) \delta(\mathbf{r}) + \frac{4}{r}$。
若点 $(x_0, y_0, z_0)$ 在区域 $V$ 内部，则 $I = \iiint_V \frac{4}{r} \, dV + 4\pi f(x_0, y_0, z_0)$；若点在 $V$ 外部，则 $I = \iiint_V \frac{4}{r} \, dV$；若点在边界上，需根据曲面光滑性取半贡献（通常为 $2\pi f$）。
公式：$$\nabla \cdot \mathbf{F} = 4\pi f(x_0, y_0, z_0) \delta(\mathbf{r}) + \frac{4}{r}$$
提示：δ函数处理是本题关键，注意点是否在积分区域内。
步骤 6/6
目标：根据题目条件给出最终结果
题目未明确 $\Sigma$ 的具体形状，但指出 $(x_0, y_0, z_0)$ 是“单位球体上的一点”。常见理解是：该点在单位球面上，且 $\Sigma$ 可能为单位球面。若 $\Sigma$ 为单位球面且点在其上，则点位于边界，此时 $I = \iiint_V \frac{4}{r} \, dV + 2\pi f(x_0, y_0, z_0)$。但更常见的题型中，体积分部分可计算为零（例如当 $V$ 为以该点为球心的球体时，积分值为 $8\pi R^2$，但此处无具体半径）。因此，最终结果依赖于 $\Sigma$ 的具体选取。若题目期望简化，可能结果为 $4\pi f(x_0, y_0, z_0)$（当体积分部分恰好抵消时）。
公式：$$I = \iiint_V \frac{4}{r} \, dV + \text{边界贡献}$$
提示：注意题目表述的模糊性，实际解题需明确曲面和点的位置关系。
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