华南理工大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
2．$f(x)=x^{2} \sin x$ 在 $0 \leq x<+\infty$ 上是否一致连续？给出证明．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：回顾一致连续的定义
函数 $f$ 在区间 $I$ 上一致连续，是指：对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $\delta > 0$，使得对任意 $x_1, x_2 \in I$，只要 $|x_1 - x_2| < \delta$，就有 $|f(x_1) - f(x_2)| < \varepsilon$。
公式：\forall \varepsilon>0,\exists\delta>0,\forall x_1,x_2\in I:|x_1-x_2|<\delta\Rightarrow|f(x_1)-f(x_2)|<\varepsilon
提示：注意一致连续与逐点连续的区别：一致连续要求 $\delta$ 只依赖于 $\varepsilon$，而不依赖于 $x$ 的位置。
步骤 2/6
目标：初步分析函数性质
函数 $f(x)=x^2\sin x$ 在有限区间上连续，但在无穷区间 $[0,+\infty)$ 上，导数 $f'(x)=2x\sin x + x^2\cos x$ 当 $x\to+\infty$ 时无界，表明函数在局部可能变化剧烈，这提示很可能不一致连续。
公式：f'(x)=2x\sin x + x^2\cos x
提示：导数无界是不一致连续的必要非充分条件，但常用来构造反例。
步骤 3/6
目标：构造反例点列
取 $x_n = 2n\pi$，$y_n = 2n\pi + \frac{1}{n}$，其中 $n$ 为正整数。则 $|x_n - y_n| = \frac{1}{n} \to 0$（当 $n\to\infty$）。
公式：x_n=2n\pi,\quad y_n=2n\pi+\frac{1}{n},\quad |x_n-y_n|=\frac{1}{n}
提示：选择 $x_n$ 使 $\sin x_n=0$ 简化计算，$y_n$ 的增量很小但函数值变化大。
步骤 4/6
目标：计算函数值之差
计算 $f(x_n) = (2n\pi)^2 \sin(2n\pi) = 0$。对于 $y_n$，利用 $\sin(2n\pi + t) = \sin t$，当 $t=\frac{1}{n}$ 很小时，$\sin\frac{1}{n} \sim \frac{1}{n}$，于是 $f(y_n) = (2n\pi + \frac{1}{n})^2 \sin\frac{1}{n} \sim (2n\pi)^2 \cdot \frac{1}{n} = 4n\pi^2$。因此 $|f(x_n)-f(y_n)| \sim 4n\pi^2 \to +\infty$（当 $n\to\infty$）。
公式：|f(x_n)-f(y_n)| \approx 4n\pi^2 \to +\infty
提示：严格证明可用不等式：当 $0
步骤 5/6
目标：根据定义得出矛盾
取 $\varepsilon = 1$，则对任意 $\delta > 0$，存在足够大的 $n$ 使得 $|x_n - y_n| = 1/n < \delta$，但 $|f(x_n)-f(y_n)| \geq 2n\pi^2 > 1$，这与一致连续的定义矛盾。
公式：\exists\varepsilon=1,\forall\delta>0,\exists x_n,y_n: |x_n-y_n|<\delta\text{ 但 }|f(x_n)-f(y_n)|>1
提示：注意反证法：要证明不一致连续，只需找到某个 $\varepsilon>0$ 使得定义中的 $\delta$ 不存在。
步骤 6/6
目标：得出结论
因此，函数 $f(x)=x^2\sin x$ 在区间 $[0,+\infty)$ 上不一致连续。
提示：结论明确，无需额外公式。
步骤 7/7
目标：得出结论
函数 \( f(x)=x^2\sin x \) 在区间 \( [0, +\infty) \) 上不一致连续。
提示：注意区间包含0，但反例在无穷远处，不影响结论。
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