华南理工大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
3．$f$ 在 $[0,2]$ 上二阶连续可微，且 $\left|f^{\prime \prime}(x)\right| \leq M$ ．若 $f$ 在 $(0,2)$ 内能取到最大值，证明：
$$
\left|f^{\prime}(0)+f^{\prime}(2)\right| \leq 2 M
$$
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：利用最大值点的性质，设出最大值点并得到一阶导数为零的条件
由于函数 $f$ 在开区间 $(0,2)$ 内能取到最大值，设最大值点为 $c \in (0,2)$。根据极值的必要条件（费马定理），在可导的内点处取得极值时，导数为零，因此有 $f'(c) = 0$。
公式：f'(c) = 0
提示：注意最大值点必须在开区间内部，不能是端点，这是题目条件明确给出的。
步骤 2/5
目标：应用拉格朗日中值定理，将端点导数与区间内部的二阶导联系起来
在区间 $[0, c]$ 上对 $f'(x)$ 应用拉格朗日中值定理，存在 $\xi_1 \in (0, c)$，使得 $f'(c) - f'(0) = f''(\xi_1)(c - 0)$。代入 $f'(c)=0$ 得 $-f'(0) = f''(\xi_1) c$，即 $f'(0) = -f''(\xi_1) c$。
同理，在区间 $[c, 2]$ 上对 $f'(x)$ 应用拉格朗日中值定理，存在 $\xi_2 \in (c, 2)$，使得 $f'(2) - f'(c) = f''(\xi_2)(2 - c)$。代入 $f'(c)=0$ 得 $f'(2) = f''(\xi_2)(2 - c)$。
公式：f'(0) = -f''(\xi_1) c, \quad f'(2) = f''(\xi_2)(2 - c)
提示：这里是对导函数 $f'(x)$ 应用中值定理，而不是对原函数 $f(x)$。注意中值点 $\xi_1$ 和 $\xi_2$ 是依赖于 $c$ 的，但不需要具体求出。
步骤 3/5
目标：将两个端点导数的表达式相加
将上一步得到的两个等式相加，得到 $f'(0) + f'(2) = -f''(\xi_1) c + f''(\xi_2)(2 - c)$。
公式：f'(0) + f'(2) = -f''(\xi_1) c + f''(\xi_2)(2 - c)
提示：注意符号：$f'(0)$ 的表达式中有一个负号。
步骤 4/5
目标：利用二阶导数的有界性进行绝对值放缩
已知对任意 $x \in [0,2]$ 有 $|f''(x)| \leq M$，因此 $|f''(\xi_1)| \leq M$，$|f''(\xi_2)| \leq M$。对等式两边取绝对值并使用三角不等式：
$$|f'(0) + f'(2)| \leq |f''(\xi_1)| c + |f''(\xi_2)| (2 - c) \leq M c + M (2 - c) = 2M.$$
公式：|f'(0) + f'(2)| \leq M c + M (2 - c) = 2M
提示：注意 $c \in (0,2)$，所以 $c$ 和 $2-c$ 都是正数，可以直接相加。三角不等式放缩时不要忘记绝对值。
步骤 5/5
目标：得出结论
因此，我们证明了所需的不等式：$\left|f'(0) + f'(2)\right| \leq 2M$。
公式：\left|f'(0) + f'(2)\right| \leq 2M
提示：证明过程中没有用到最大值点的二阶导非正的条件，仅用了一阶导为零，因此这个条件在本题中是多余的，但题目给出是为了完整性。
步骤 6/6
目标：得出结论
因此，不等式 $|f'(0)+f'(2)| \leq 2M$ 成立，证明完毕。
公式：\boxed{|f'(0)+f'(2)| \leq 2M}
提示：最终结果要写成绝对值不等式形式。
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