华南理工大学 2026年数学分析第0题

首先，注意到 $|\sin x|$ 是周期为 $\pi$ 的偶函数，因为 $|\sin(x+\pi)| = |-\sin x| = |\sin x|$。因此，我们选择在区间 $[0, \pi]$ 上展开，周期 $T = \pi$，基频 $\omega = \frac{2\pi}{T} = 2$。由于函数是偶函数，傅里叶级数中正弦项系数 $b_n = 0$，级数形式为： $$|\sin x| = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty a_n \cos(2n x)$$

计算常数项系数 $a_0$： $$a_0 = \frac{2}{\pi} \int_0^\pi |\sin x| \, dx = \frac{2}{\pi} \int_0^\pi \sin x \, dx = \frac{2}{\pi} \left[ -\cos x \right]_0^\pi = \frac{2}{\pi} (1 - (-1)) = \frac{4}{\pi}$$ 因此，$\frac{a_0}{2} = \frac{2}{\pi}$。

对于 $n \ge 1$，计算余弦项系数： $$a_n = \frac{2}{\pi} \int_0^\pi \sin x \cos(2n x) \, dx$$ 利用积化和差公式 $\sin A \cos B = \frac{1}{2}[\sin(A+B) + \sin(A-B)]$，得： $$a_n = \frac{1}{\pi} \int_0^\pi [\sin((1+2n)x) + \sin((1-2n)x)] \, dx$$ 计算积分 $\int_0^\pi \sin(kx) \, dx = \frac{1 - \cos(k\pi)}{k}$。由于 $1+2n$ 和 $1-2n$ 均为奇数，$\cos(k\pi) = -1$，故 $1 - (-1) = 2$。代入得： $$a_n = \frac{1}{\pi} \left( \frac{2}{1+2n} + \frac{2}{1-2n} \right) = \frac{2}{\pi} \left( \frac{1}{1+2n} - \frac{1}{2n-1} \right)$$ 通分后化简： $$a_n = \frac{2}{\pi} \cdot \frac{-2}{(2n+1)(2n-1)} = -\frac{4}{\pi(4n^2 - 1)}$$

将系数代入级数形式，得到 $|\sin x|$ 的傅里叶级数展开： $$|\sin x| = \frac{2}{\pi} - \frac{4}{\pi} \sum_{n=1}^\infty \frac{\cos(2n x)}{4n^2 - 1}, \quad x \in \mathbb{R}$$ 由于 $\left| \frac{\cos(2n x)}{4n^2 - 1} \right| \le \frac{1}{4n^2 - 1}$，而 $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{4n^2 - 1}$ 收敛（与 $\sum 1/n^2$ 同阶），由 Weierstrass M-判别法可知，该三角级数在 $\mathbb{R}$ 上一致收敛。

函数 $|\sin(\lambda x)|$ 是周期为 $\pi/\lambda$ 的周期函数。在一个完整周期上的平均值为： $$\frac{1}{\pi/\lambda} \int_0^{\pi/\lambda} |\sin(\lambda x)| \, dx = \frac{\lambda}{\pi} \cdot \frac{1}{\lambda} \int_0^\pi |\sin t| \, dt = \frac{1}{\pi} \cdot 2 = \frac{2}{\pi}$$ 这表明当 $\lambda \to +\infty$ 时，$|\sin(\lambda x)|$ 在局部区间上的平均趋于常数 $2/\pi$。

首先考虑 $f(x) = \chi_{[c,d]}(x)$ 为区间 $[c,d] \subset [a,b]$ 上的特征函数。则： $$\int_a^b f(x)|\sin(\lambda x)| \, dx = \int_c^d |\sin(\lambda x)| \, dx$$ 将区间 $[c,d]$ 分成若干长度为 $\pi/\lambda$ 的小段（可能余下一段不足）。当 $\lambda \to +\infty$ 时，每小段上的积分近似等于长度乘以均值 $2/\pi$，余项趋于0。因此极限为 $\frac{2}{\pi}(d-c) = \frac{2}{\pi} \int_a^b f(x) \, dx$。由线性性，该结论对任意阶梯函数成立。

对任意黎曼可积函数 $f$，给定 $\varepsilon > 0$，存在阶梯函数 $g$ 和 $h$ 满足 $g(x) \le f(x) \le h(x)$ 且 $\int_a^b (h(x) - g(x)) \, dx < \varepsilon$。则： $$\int_a^b g(x)|\sin(\lambda x)| \, dx \le \int_a^b f(x)|\sin(\lambda x)| \, dx \le \int_a^b h(x)|\sin(\lambda x)| \, dx$$ 取 $\lambda \to +\infty$，由阶梯函数结论，左右两端分别趋于 $\frac{2}{\pi} \int_a^b g(x) \, dx$ 和 $\frac{2}{\pi} \int_a^b h(x) \, dx$，两者之差小于 $\frac{2}{\pi}\varepsilon$。由 $\varepsilon$ 的任意性，夹逼得原极限为 $\frac{2}{\pi} \int_a^b f(x) \, dx$。

对任意 $\varepsilon > 0$，存在阶梯函数 $g$ 使得 $\int_a^b |f(x) - g(x)| \, dx < \varepsilon$。则 \begin{align*} &\left| \int_a^b f(x)|\sin(\lambda x)| \, dx - \frac{2}{\pi} \int_a^b f(x) \, dx \right| \\ &\le \left| \int_a^b (f-g)|\sin(\lambda x)| \, dx \right| + \left| \int_a^b g|\sin(\lambda x)| \, dx - \frac{2}{\pi} \int_a^b g \, dx \right| + \frac{2}{\pi} \left| \int_a^b (g-f) \, dx \right| \\ &\le \varepsilon + \varepsilon + \frac{2}{\pi} \varepsilon = \left(2 + \frac{2}{\pi}\right)\varepsilon \end{align*} 其中第一、三项由 $|\sin| \le 1$ 和 $\int |f-g| < \varepsilon$ 控制，中间项当 $\lambda$ 足够大时小于 $\varepsilon$。因此极限等式成立。