华南理工大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
6．判断 $\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \ln \left(1+\frac{(-1)^{n}}{n^{\alpha}}\right)(\alpha>0)$ 的绝对收敛性，条件收敛性，发散性．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：通项展开与初步分析
当 $n$ 很大时，$\frac{(-1)^n}{n^\alpha}$ 趋于 $0$，利用对数展开 $\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + O(x^3)$，令 $x = \frac{(-1)^n}{n^\alpha}$，得：
$$\ln\left(1+\frac{(-1)^n}{n^\alpha}\right) = \frac{(-1)^n}{n^\alpha} - \frac{1}{2n^{2\alpha}} + O\left(\frac{1}{n^{3\alpha}}\right).$$
公式：\ln\left(1+\frac{(-1)^n}{n^\alpha}\right) = \frac{(-1)^n}{n^\alpha} - \frac{1}{2n^{2\alpha}} + O\left(\frac{1}{n^{3\alpha}}\right)
提示：注意展开的余项是 $O(1/n^{3\alpha})$，其收敛性取决于 $\alpha$，但通常不影响主要项的判断。
步骤 2/6
目标：分别考察各部分收敛性
第一部分 $\sum_{n=2}^\infty \frac{(-1)^n}{n^\alpha}$ 是交错级数，当 $\alpha>0$ 时通项绝对值递减趋于 $0$，由莱布尼茨判别法知该部分收敛，但绝对收敛仅当 $\alpha>1$。
第二部分 $-\frac12 \sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n^{2\alpha}}$ 是 $p$ 级数，收敛当且仅当 $2\alpha>1$，即 $\alpha>1/2$。
第三部分 $O(1/n^{3\alpha})$ 当 $\alpha>1/3$ 时绝对收敛，且为高阶小量。
公式：\sum_{n=2}^\infty \frac{(-1)^n}{n^\alpha}, \quad \sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n^{2\alpha}}
提示：交错级数部分条件收敛与绝对收敛的临界点是 $\alpha=1$；$p$ 级数部分临界点是 $\alpha=1/2$。
步骤 3/6
目标：整体收敛性判断：$\alpha>1$
当 $\alpha>1$ 时，第一部分绝对收敛（$p=\alpha>1$），第二部分也绝对收敛（$2\alpha>2>1$），余项绝对收敛，故整个级数绝对收敛。
提示：绝对收敛意味着原级数各项绝对值构成的级数收敛。
步骤 4/6
目标：整体收敛性判断：$1/2<\alpha\le 1$
当 $1/2<\alpha\le 1$ 时，第一部分条件收敛（交错级数收敛但绝对值级数发散，因为 $\alpha\le 1$），第二部分绝对收敛（$2\alpha>1$），余项绝对收敛。由于主要部分条件收敛，加上绝对收敛的修正项不改变条件收敛性，故整体条件收敛。
提示：条件收敛是指原级数收敛但绝对值级数发散。
步骤 5/6
目标：整体收敛性判断：$0<\alpha\le 1/2$
当 $0<\alpha\le 1/2$ 时，第一部分仍然条件收敛（交错级数收敛），但第二部分发散（$2\alpha\le 1$，$p$ 级数发散到 $-\infty$）。由于第二部分是负的发散项，主导了级数的行为，故整个级数发散到 $-\infty$。
提示：注意第二部分是负的调和型级数，发散速度比交错部分快，因此整体发散。
步骤 6/6
目标：边界情况验证
$\alpha=1/2$ 时，第二部分为 $-\frac12\sum \frac{1}{n}$ 发散到 $-\infty$，第一部分交错收敛，整体发散。$\alpha$ 很小（如 $0.1$）时，第二部分发散更快，同样整体发散。
提示：边界点 $\alpha=1/2$ 属于发散情形。
步骤 7/7
目标：总结结论
综上，
- 当 $\alpha > 1$ 时，级数绝对收敛；
- 当 $\frac{1}{2} < \alpha \leq 1$ 时，级数条件收敛；
- 当 $0 < \alpha \leq \frac{1}{2}$ 时，级数发散。
提示：注意边界 $\alpha=1$ 属于条件收敛，$\alpha=1/2$ 属于发散。
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