华南理工大学 2026年数学分析第0题

第一个曲面：$x^2 + y^2 + z^2 = 2ax$ 可化为 $(x - a)^2 + y^2 + z^2 = a^2$，是球心在 $(a,0,0)$、半径为 $a$ 的球面。第二个曲面：$y^2 + x^2 = 2bx$ 可化为 $(x - b)^2 + y^2 = b^2$，是轴线平行于 $z$ 轴的柱面。将柱面方程 $x^2 + y^2 = 2bx$ 代入球面方程得 $2bx + z^2 = 2ax$，即 $z^2 = 2(a - b)x$。由于 $a > b$，故 $x \ge 0$，且 $z = \pm \sqrt{2(a-b)x}$。由柱面方程知 $0 \le x \le 2b$。

原点 $(0,0,0)$ 在曲线上（代入方程满足）。方向为“经由 $y>0$ 的方向再回到原点”，即从原点出发沿 $y>0$ 一侧绕行一周回到原点，曲线封闭。将曲线积分写为向量场形式：令 $\mathbf{F} = (0,\; x^2+z^2,\; y^2+x^2)$，则 $I = \int_L \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}$。由斯托克斯公式，$I = \iint_S (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot \mathbf{n} \, dS$，其中 $S$ 是以 $L$ 为边界的任意曲面。

计算旋度各分量： - $i$ 分量：$\frac{\partial}{\partial y}(y^2+x^2) - \frac{\partial}{\partial z}(x^2+z^2) = 2y - 2z$ - $j$ 分量：$-\left[ \frac{\partial}{\partial x}(y^2+x^2) - \frac{\partial}{\partial z}(0) \right] = -(2x - 0) = -2x$ - $k$ 分量：$\frac{\partial}{\partial x}(x^2+z^2) - \frac{\partial}{\partial y}(0) = 2x$ 因此旋度为 $\nabla \times \mathbf{F} = (2y-2z,\; -2x,\; 2x)$。

选取曲面 $S$ 为柱面 $y^2 + x^2 = 2bx$ 被球面截下的部分（介于 $z = \pm \sqrt{2(a-b)x}$ 之间）。由于旋度表达式简单，且曲面法向容易确定（柱面法向水平），但直接计算曲面积分仍较复杂。另一种思路：注意到曲线在 $xy$ 平面投影为圆 $(x-b)^2 + y^2 = b^2$，且 $z$ 由 $z^2 = 2(a-b)x$ 给出，可尝试直接参数化计算积分。

由柱面方程设参数：$x = b + b\cos\theta = b(1+\cos\theta)$，$y = b\sin\theta$，$\theta \in [0, 2\pi)$。代入 $z^2 = 2(a-b)x$ 得 $z^2 = 2(a-b)b(1+\cos\theta) = 4b(a-b)\cos^2\frac{\theta}{2}$，故 $z = \pm 2\sqrt{b(a-b)}\left|\cos\frac{\theta}{2}\right|$。原点对应 $x=0,y=0$，即 $\cos\theta = -1$，$\theta = \pi$。方向要求 $y>0$（即 $\sin\theta > 0$），故从 $\theta = \pi$ 出发沿 $\theta$ 增加方向绕行一周回到 $\theta = 3\pi$。取 $z$ 为正的一支，在 $\theta \in (\pi, 3\pi)$ 上 $\cos(\theta/2) < 0$，故 $z = -2\sqrt{b(a-b)}\cos\frac{\theta}{2}$。

微分：$dy = b\cos\theta \, d\theta$，$dz = \frac{d}{d\theta}\left(-2\sqrt{b(a-b)}\cos\frac{\theta}{2}\right)d\theta = \sqrt{b(a-b)}\sin\frac{\theta}{2} \, d\theta$。计算被积函数中的表达式： - $x^2 = b^2(1+\cos\theta)^2 = b^2(1+2\cos\theta+\cos^2\theta)$ - $z^2 = 4b(a-b)\cos^2\frac{\theta}{2} = 2b(a-b)(1+\cos\theta)$ - $x^2+z^2 = b^2(1+2\cos\theta+\cos^2\theta) + 2b(a-b)(1+\cos\theta)$ - $y^2+x^2 = b^2\sin^2\theta + b^2(1+\cos\theta)^2 = b^2(\sin^2\theta + 1 + 2\cos\theta + \cos^2\theta) = 2b^2(1+\cos\theta)$ 代入积分：$I = \int_{\pi}^{3\pi} \left[ (x^2+z^2) \cdot b\cos\theta + (y^2+x^2) \cdot \sqrt{b(a-b)}\sin\frac{\theta}{2} \right] d\theta$。

将 $x^2+z^2$ 展开并化简： $x^2+z^2 = b^2(1+2\cos\theta+\cos^2\theta) + 2b(a-b)(1+\cos\theta)$ $= b^2\cos^2\theta + 2b^2\cos\theta + b^2 + 2b(a-b) + 2b(a-b)\cos\theta$ $= b^2\cos^2\theta + [2b^2 + 2b(a-b)]\cos\theta + [b^2 + 2b(a-b)]$ $= b^2\cos^2\theta + 2ab\cos\theta + (2ab - b^2)$ 乘以 $b\cos\theta$ 得：$b^3\cos^3\theta + 2ab^2\cos^2\theta + (2ab^2 - b^3)\cos\theta$ 第二项：$2b^2(1+\cos\theta)\sqrt{b(a-b)}\sin\frac{\theta}{2}$，利用 $1+\cos\theta = 2\cos^2\frac{\theta}{2}$，得 $4b^2\sqrt{b(a-b)}\cos^2\frac{\theta}{2}\sin\frac{\theta}{2}$。 积分区间对称，利用奇偶性：$\cos\theta$ 和 $\cos^3\theta$ 在 $[\pi, 3\pi]$ 上积分为零（周期函数对称），$\cos^2\theta$ 的积分为 $\pi$。第二项中令 $u = \cos\frac{\theta}{2}$，则 $du = -\frac{1}{2}\sin\frac{\theta}{2}d\theta$，积分限从 $\theta=\pi$（$u=0$）到 $\theta=3\pi$（$u=0$），积分为零。最终 $I = 2ab^2 \cdot \pi = 2\pi a b^2$。