华南理工大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
8．记区域 $D: 0 \leq x \leq 1,0 \leq y \leq 1$ ，证明：$e^{x y}+\ln (1+x y) \geq 1+x y$ ，并说明取等条件．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：变量简化，将二元不等式转化为一元不等式
由于 $x, y \in [0,1]$，令 $t = xy$，则 $t \in [0,1]$。原不等式 $e^{xy} + \ln(1+xy) \ge 1+xy$ 等价于证明：对任意 $t \in [0,1]$，有 $e^t + \ln(1+t) \ge 1+t$。
公式：t = xy, \quad 0 \le t \le 1
提示：注意乘积的范围，$xy$ 的最大值为 $1$，最小值为 $0$。
步骤 2/6
目标：构造函数，将不等式问题转化为函数最小值问题
令 $f(t) = e^t + \ln(1+t) - (1+t)$，则需证明 $f(t) \ge 0$ 在 $[0,1]$ 上恒成立。
公式：f(t) = e^t + \ln(1+t) - 1 - t
提示：构造差函数是证明不等式的常用方法。
步骤 3/6
目标：求导分析函数的单调性
计算一阶导数：$f'(t) = e^t + \frac{1}{1+t} - 1$。再计算二阶导数：$f''(t) = e^t - \frac{1}{(1+t)^2}$。在 $t \in [0,1]$ 上，$e^t \ge 1$，而 $\frac{1}{(1+t)^2} \le 1$，因此 $f''(t) \ge 0$，说明 $f'(t)$ 在 $[0,1]$ 上单调递增。
公式：f'(t) = e^t + \frac{1}{1+t} - 1, \quad f''(t) = e^t - \frac{1}{(1+t)^2} \ge 0
提示：二阶导数非负说明一阶导数单调递增，这是判断导数符号的重要依据。
步骤 4/6
目标：判断一阶导数的符号，确定原函数的单调性
计算 $f'(0) = e^0 + \frac{1}{1+0} - 1 = 1 + 1 - 1 = 1 > 0$。由于 $f'(t)$ 在 $[0,1]$ 上单调递增，因此对任意 $t \in [0,1]$，有 $f'(t) \ge f'(0) > 0$。所以 $f(t)$ 在 $[0,1]$ 上严格单调递增。
公式：f'(0)=1>0, \quad f'(t) \ge f'(0) > 0
提示：注意：$f'(t)$ 恒正说明原函数严格递增，最小值在左端点取得。
步骤 5/6
目标：求最小值并得出结论
计算 $f(0) = e^0 + \ln 1 - 1 = 1 + 0 - 1 = 0$。由于 $f(t)$ 在 $[0,1]$ 上单调递增，所以对任意 $t \in [0,1]$，有 $f(t) \ge f(0) = 0$，即 $e^t + \ln(1+t) \ge 1+t$，等号成立当且仅当 $t=0$。
公式：f(t) \ge f(0) = 0, \quad \text{等号当且仅当 } t=0
提示：最小值点处取等，注意验证端点值。
步骤 6/6
目标：回到原变量，说明取等条件
由 $t = xy = 0$，在区域 $D: 0 \le x \le 1, 0 \le y \le 1$ 内，$xy=0$ 等价于 $x=0$ 或 $y=0$。因此原不等式在 $D$ 上成立，等号成立当且仅当 $x=0$ 或 $y=0$。
公式：xy = 0 \iff x=0 \text{ 或 } y=0
提示：注意：$x=0$ 且 $y=0$ 是包含在 $x=0$ 或 $y=0$ 中的特殊情况。
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