南京信息工程大学 2023年数学分析第0题
📝 题目
1. 求数列极限： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1^{2023}+2^{2023}+\cdots+n^{2023}}{n^{2024}}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：将原极限表达式改写为黎曼和的形式
原极限为 \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1^{2023}+2^{2023}+\cdots+n^{2023}}{n^{2024}}\)。将分母拆分为 \(n \cdot n^{2023}\)，得到 \(\displaystyle \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \left(\frac{k}{n}\right)^{2023}\)。
公式：\displaystyle \frac{1^{2023}+2^{2023}+\cdots+n^{2023}}{n^{2024}} = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \left(\frac{k}{n}\right)^{2023}
提示：注意将 \(k^{2023}\) 与分母 \(n^{2024}\) 结合时，要提取出 \(\frac{1}{n}\) 因子，确保形式为 \(\frac{1}{n} f\left(\frac{k}{n}\right)\)。
步骤 2/4
目标：识别黎曼和并转化为定积分
表达式 \(\displaystyle \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \left(\frac{k}{n}\right)^{2023}\) 是函数 \(f(x)=x^{2023}\) 在区间 \([0,1]\) 上的右端点黎曼和。当 \(n \to \infty\) 时，该和收敛于定积分 \(\displaystyle \int_0^1 x^{2023} \, dx\)。
公式：\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \left(\frac{k}{n}\right)^{2023} = \int_0^1 x^{2023} \, dx
提示：确保黎曼和的分点 \(x_k = \frac{k}{n}\) 覆盖区间 \([0,1]\)，且步长为 \(\frac{1}{n}\)。这里取右端点，但左端点或中点也会得到相同极限。
步骤 3/4
目标：计算定积分
计算 \(\displaystyle \int_0^1 x^{2023} \, dx\)。根据幂函数积分公式，\(\int x^\alpha \, dx = \frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}\)，代入上下限得 \(\left. \frac{x^{2024}}{2024} \right|_0^1 = \frac{1}{2024}\)。
公式：\displaystyle \int_0^1 x^{2023} \, dx = \frac{1}{2024}
提示：注意积分上限为1，下限为0，代入时不要忘记减去下限的值（此处为0）。幂次加1后分母为2024。
步骤 4/4
目标：得出最终极限值
由以上步骤，原极限等于 \(\displaystyle \frac{1}{2024}\)。
公式：\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1^{2023}+2^{2023}+\cdots+n^{2023}}{n^{2024}} = \frac{1}{2024}
提示：最终结果是一个简洁的分数，注意与幂指数2023的关系：分母为2024。
步骤 5/5
目标：得出最终极限值
因此，原极限等于 \(\frac{1}{2024}\)。
公式：\boxed{\frac{1}{2024}}
提示：最终答案应简洁明了，注意用框号表示。
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