📝 南京信息工程大学 2023年数学分析真题

1. 求数列极限： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1^{2023}+2^{2023}+\cdots+n^{2023}}{n^{2024}}$ ．

2．设函数 $f(x)$ 有二阶连续导数，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=0, f^{\prime \prime}(0)=6$ ，求 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left[1+\frac{f(x)}{x}\right]^{\frac{1}{x}}$.

3．设 $f(\ln x)=x \ln (1+x)$ ，求不定积分 $\int f(x) \mathrm{d} x$ ．

4、求由方程 $x^{2}+2 x y+2 y^{2}=1$ 所确定的隐函数 $y=f(x)$ 的极值点和极值．

5、计算曲面积分：$I=\iint_{\Sigma} e^{\sqrt{x}} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\Sigma$ 为拋物面 $x=y^{2}+z^{2}$ 夹在平面 $x=1$ 与平面 $x=2$ 之间的部分，取外侧．

6、求曲面 $z=x y^{3}$ 上一点 $P_{0}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$ ，使得曲面过 $P_{0}$ 的法线垂直于平面 $x+3 y-z=1$ ，并求曲面过 $P_{0}$ 的法线方程．