南京信息工程大学 2023年数学分析第0题
📝 题目
2．设函数 $f(x)$ 有二阶连续导数，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=0, f^{\prime \prime}(0)=6$ ，求 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left[1+\frac{f(x)}{x}\right]^{\frac{1}{x}}$.
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：由极限条件推导 f(0) 和 f'(0)
已知 $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} = 0$。因为分母趋于 0，分子也必须趋于 0，否则极限不存在或为无穷大，所以 $f(0) = 0$。进一步，由导数定义：$f'(0) = \lim_{x \to 0} \frac{f(x) - f(0)}{x - 0} = \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} = 0$。
公式：$f(0)=0,\quad f'(0)=0$
提示：注意：$\lim \frac{f(x)}{x}=0$ 不仅说明 $f(0)=0$，还直接给出了 $f'(0)=0$，这是后续展开的关键。
步骤 2/7
目标：利用泰勒公式展开 f(x) 到二阶
由于 $f(x)$ 有二阶连续导数，可以在 $x=0$ 处展开到二阶：$f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2}x^2 + o(x^2)$。代入 $f(0)=0,\, f'(0)=0,\, f''(0)=6$，得到 $f(x) = 3x^2 + o(x^2)$。
公式：$f(x) = 3x^2 + o(x^2)$
提示：展开时注意余项 $o(x^2)$ 表示比 $x^2$ 高阶的无穷小，不能省略。
步骤 3/7
目标：计算 f(x)/x 的表达式
由 $f(x) = 3x^2 + o(x^2)$，两边除以 $x$（$x \neq 0$），得 $\frac{f(x)}{x} = 3x + o(x)$。这里 $o(x)$ 表示比 $x$ 高阶的无穷小。
公式：$\frac{f(x)}{x} = 3x + o(x)$
提示：注意 $o(x^2)/x = o(x)$，因为高阶无穷小除以 $x$ 后阶数降低一次。
步骤 4/7
目标：将极限转化为幂指函数形式并取对数
令 $u(x) = \frac{f(x)}{x} = 3x + o(x)$，则原极限为 $\lim_{x \to 0} [1+u(x)]^{1/x}$。设 $L$ 为此极限，取自然对数：$\ln L = \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+u(x))}{x}$。
公式：$\ln L = \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+u(x))}{x}$
提示：幂指函数 $[1+u(x)]^{1/x}$ 取对数是标准处理方法，注意 $u(x) \to 0$ 才能使用 $\ln(1+u) \sim u$。
步骤 5/7
目标：展开 ln(1+u(x)) 并代入 u(x) 的表达式
当 $u \to 0$ 时，$\ln(1+u) = u - \frac{u^2}{2} + o(u^2)$。代入 $u(x) = 3x + o(x)$，得 $u^2 = 9x^2 + o(x^2)$。因此 $\ln(1+u(x)) = (3x + o(x)) - \frac{1}{2}(9x^2 + o(x^2)) + o(x^2) = 3x - \frac{9}{2}x^2 + o(x)$。
公式：$\ln(1+u(x)) = 3x - \frac{9}{2}x^2 + o(x)$
提示：合并无穷小项时，$o(x)$ 已经包含了所有比 $x$ 高阶的项，注意 $o(x^2)$ 也是 $o(x)$。
步骤 6/7
目标：计算 ln L 的极限
将展开式代入：$\frac{\ln(1+u(x))}{x} = \frac{3x - \frac{9}{2}x^2 + o(x)}{x} = 3 - \frac{9}{2}x + \frac{o(x)}{x}$。当 $x \to 0$ 时，$-\frac{9}{2}x \to 0$，$\frac{o(x)}{x} \to 0$，所以 $\ln L = 3$。
公式：$\ln L = \lim_{x \to 0} \left(3 - \frac{9}{2}x + \frac{o(x)}{x}\right) = 3$
提示：注意 $\frac{o(x)}{x} \to 0$ 是 $o(x)$ 的定义，不要遗漏这一项。
步骤 7/7
目标：还原原极限值
由 $\ln L = 3$，得 $L = e^3$。因此原极限为 $e^3$。
公式：$\displaystyle \lim_{x \to 0}\left[1+\frac{f(x)}{x}\right]^{\frac{1}{x}} = e^3$
提示：最后一步是指数运算，注意 $e^3$ 是最终结果，不要写成 $3$。
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