南京信息工程大学 2023年数学分析第0题
📝 题目
3．设 $f(\ln x)=x \ln (1+x)$ ，求不定积分 $\int f(x) \mathrm{d} x$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：通过变量代换求出函数 f(x) 的表达式
令 $t = \ln x$，则 $x = e^t$。代入已知条件 $f(\ln x) = x \ln(1+x)$，得到 $f(t) = e^t \ln(1+e^t)$。因此 $f(x) = e^x \ln(1+e^x)$。
公式：$f(x) = e^x \ln(1+e^x)$
提示：注意代换后变量名称可以任意，最后统一用 x 表示即可。
步骤 2/5
目标：将待求积分转化为标准形式
所求积分为 $\int f(x) \, dx = \int e^x \ln(1+e^x) \, dx$。
公式：$\int e^x \ln(1+e^x) \, dx$
提示：观察被积函数结构，考虑使用换元法简化。
步骤 3/5
目标：使用换元法简化积分
令 $u = 1 + e^x$，则 $du = e^x \, dx$。积分变为 $\int \ln u \, du$。
公式：$\int \ln u \, du$
提示：注意 $e^x dx = du$，无需单独解出 $e^x$。
步骤 4/5
目标：计算基本积分 $\int \ln u \, du$
使用分部积分法：令 $w = \ln u$，$dv = du$，则 $dw = \frac{1}{u} du$，$v = u$。于是 $\int \ln u \, du = u \ln u - \int u \cdot \frac{1}{u} \, du = u \ln u - \int 1 \, du = u \ln u - u + C$。
公式：$\int \ln u \, du = u \ln u - u + C$
提示：分部积分时注意不要遗漏常数项。
步骤 5/5
目标：回代变量得到最终结果
将 $u = 1 + e^x$ 代回：$\int e^x \ln(1+e^x) \, dx = (1+e^x) \ln(1+e^x) - (1+e^x) + C$。整理得 $(1+e^x)\ln(1+e^x) - e^x - 1 + C$，常数 $-1$ 可与 $C$ 合并，故也可写作 $(1+e^x)\ln(1+e^x) - e^x + C$。
公式：$\int f(x) \, dx = (1+e^x)\ln(1+e^x) - e^x + C$
提示：常数合并后注意表达简洁性，两种形式均正确。
步骤 6/6
目标：代回原变量
将 $u = e^x$ 代入，得 $\int f(x) \, dx = (e^x + 1)\ln(1+e^x) - e^x + C$。
公式：\int f(x) \, dx = (e^x + 1)\ln(1+e^x) - e^x + C
提示：检查结果是否可化简，此处已是最简形式。
步骤 7/7
目标：整理最终结果
合并同类项：$e^x \ln(1+e^x) + \ln(1+e^x) = (e^x+1) \ln(1+e^x)$，所以 $\int f(x) \, dx = (e^x+1) \ln(1+e^x) - e^x + C$。
提示：最终结果可以写成 $\boxed{(e^x+1) \ln(1+e^x) - e^x + C}$。
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