南京信息工程大学 2023年数学分析第0题
📝 题目
5、计算曲面积分：$I=\iint_{\Sigma} e^{\sqrt{x}} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\Sigma$ 为拋物面 $x=y^{2}+z^{2}$ 夹在平面 $x=1$ 与平面 $x=2$ 之间的部分，取外侧．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：明确曲面的方向与投影
曲面方程为 $x = y^2 + z^2$，是开口朝 $x$ 轴正方向的旋转抛物面。取外侧，即法向量指向 $x$ 增大的方向。积分形式为 $\iint_{\Sigma} e^{\sqrt{x}} \, dy \, dz$，对应第二类曲面积分中 $P = e^{\sqrt{x}}$ 的形式，需将曲面投影到 $yz$ 平面计算。
公式：第二类曲面积分 $\iint_{\Sigma} P \, dy \, dz$ 的投影公式
提示：注意曲面取外侧时，法向指向 $x$ 增加方向，投影公式中无需添加符号。
步骤 2/5
目标：将曲面积分转化为投影区域上的二重积分
对于由 $x = f(y,z)$ 给出的曲面，且法向指向 $x$ 增加方向，有公式 $\iint_{\Sigma} P(x,y,z) \, dy \, dz = \iint_{D_{yz}} P(f(y,z), y, z) \, dy \, dz$，其中 $D_{yz}$ 是曲面在 $yz$ 平面上的投影区域。曲面介于 $x=1$ 与 $x=2$ 之间，对应 $x = y^2+z^2$，因此投影区域为环形：$1 \le y^2+z^2 \le 2$。
公式：$\iint_{\Sigma} P \, dy \, dz = \iint_{D_{yz}} P(f(y,z), y, z) \, dy \, dz$
提示：投影区域由 $x$ 的范围决定，注意 $x=1$ 和 $x=2$ 对应 $yz$ 平面上的圆半径分别为 $1$ 和 $\sqrt{2}$。
步骤 3/5
目标：写出积分并化为极坐标
在曲面上 $x = y^2+z^2$，故被积函数 $e^{\sqrt{x}} = e^{\sqrt{y^2+z^2}}$。于是 $I = \iint_{1 \le y^2+z^2 \le 2} e^{\sqrt{y^2+z^2}} \, dy \, dz$。采用极坐标：$y = r\cos\theta$，$z = r\sin\theta$，$dy \, dz = r \, dr \, d\theta$，$r$ 从 $1$ 到 $\sqrt{2}$，$\theta$ 从 $0$ 到 $2\pi$。得 $I = \int_0^{2\pi} d\theta \int_1^{\sqrt{2}} e^r \cdot r \, dr$。
公式：极坐标变换 $dy \, dz = r \, dr \, d\theta$
提示：注意 $r$ 的范围是 $1$ 到 $\sqrt{2}$，不是 $0$ 到 $\sqrt{2}$，因为投影是环形。
步骤 4/5
目标：计算内层积分
计算 $\int_1^{\sqrt{2}} r e^r \, dr$。利用分部积分公式 $\int r e^r \, dr = (r-1)e^r + C$。代入上下限：$\left[(r-1)e^r\right]_1^{\sqrt{2}} = (\sqrt{2}-1)e^{\sqrt{2}} - (1-1)e^1 = (\sqrt{2}-1)e^{\sqrt{2}}$。
公式：$\int r e^r \, dr = (r-1)e^r + C$
提示：计算定积分时注意下限代入 $(1-1)e^1 = 0$，避免计算错误。
步骤 5/5
目标：乘以角度积分得到最终结果
外层 $\theta$ 积分结果为 $2\pi$，因此 $I = 2\pi \cdot (\sqrt{2}-1)e^{\sqrt{2}}$。
公式：$\int_0^{2\pi} d\theta = 2\pi$
提示：最终结果需化简，保留 $2\pi(\sqrt{2}-1)e^{\sqrt{2}}$ 形式。
步骤 6/6
目标：乘上角度积分并得出最终结果
角度部分积分为 $\int_{0}^{2\pi} d\theta = 2\pi$，因此：
$$I = 2\pi \cdot e^{\sqrt{2}} (\sqrt{2}-1)$$
公式：$$I = 2\pi e^{\sqrt{2}} (\sqrt{2}-1)$$
提示：最终结果需化简，保留 $e^{\sqrt{2}}$ 形式。
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