南京信息工程大学 2023年数学分析第0题
📝 题目
4、求由方程 $x^{2}+2 x y+2 y^{2}=1$ 所确定的隐函数 $y=f(x)$ 的极值点和极值．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：对方程两边关于x求导，得到隐函数的导数表达式
对方程 $x^{2}+2xy+2y^{2}=1$ 两边关于 $x$ 求导，注意 $y$ 是 $x$ 的函数：
\[
\frac{d}{dx}(x^2) + \frac{d}{dx}(2xy) + \frac{d}{dx}(2y^2) = \frac{d}{dx}(1)
\]
得到：
\[
2x + 2\left( y + x\frac{dy}{dx} \right) + 4y\frac{dy}{dx} = 0
\]
化简：
\[
2x + 2y + 2x\frac{dy}{dx} + 4y\frac{dy}{dx} = 0
\]
公式：2x + 2y + (2x+4y)\frac{dy}{dx} = 0
提示：注意对 $2xy$ 求导时要用乘法法则，$y$ 是 $x$ 的函数，不要遗漏 $\frac{dy}{dx}$ 项。
步骤 2/6
目标：解出导数表达式
将含 $\frac{dy}{dx}$ 的项合并：
\[
2x + 2y + (2x+4y)\frac{dy}{dx} = 0
\]
移项得：
\[
(2x+4y)\frac{dy}{dx} = -2x - 2y
\]
所以：
\[
\frac{dy}{dx} = \frac{-2(x+y)}{2(x+2y)} = -\frac{x+y}{x+2y}
\]
公式：\frac{dy}{dx} = -\frac{x+y}{x+2y}
提示：化简时注意分子分母的公因子2可以约去，但要确保分母 $x+2y \neq 0$。
步骤 3/6
目标：利用极值必要条件（导数为0）得到候选点满足的条件
极值点处导数等于0，即：
\[
-\frac{x+y}{x+2y} = 0 \quad \Rightarrow \quad x+y=0
\]
所以极值候选点满足 $y = -x$。
公式：x+y=0
提示：注意分母 $x+2y$ 不能为0，否则导数无定义，但极值点通常出现在导数等于0处。
步骤 4/6
目标：将条件代入原方程，求出候选点的具体坐标
将 $y = -x$ 代入原方程 $x^{2}+2xy+2y^{2}=1$：
\[
x^2 + 2x(-x) + 2(-x)^2 = 1
\]
计算：
\[
x^2 - 2x^2 + 2x^2 = 1 \quad \Rightarrow \quad x^2 = 1
\]
所以 $x = \pm 1$，对应的 $y = -x$，得到两个候选点：
\[
(1, -1),\quad (-1, 1)
\]
公式：x^2 = 1
提示：代入时注意符号运算，$(-x)^2 = x^2$，不要出错。
步骤 5/6
目标：用隐函数二阶导数判断极值类型
对一阶导数 $y' = -\frac{x+y}{x+2y}$ 再求导，或者利用隐函数求导法。这里采用对等式 $y'(x+2y) = -(x+y)$ 两边对 $x$ 求导：
左边用乘法法则：
\[
y''(x+2y) + y'(1+2y') = -1 - y'
\]
在极值点处 $y'=0$，上式简化为：
\[
y''(x+2y) = -1
\]
所以：
\[
y'' = -\frac{1}{x+2y}
\]
公式：y'' = -\frac{1}{x+2y}
提示：求二阶导时，注意 $y'$ 是 $x$ 的函数，对 $y'$ 求导要得到 $y''$，且代入 $y'=0$ 简化计算。
步骤 6/6
目标：代入候选点，判断极值类型并求出极值
对于点 $(1, -1)$：
$x+2y = 1 + 2(-1) = -1$，则 $y'' = -\frac{1}{-1} = 1 > 0$，所以是极小值点，极小值为 $y = -1$。
对于点 $(-1, 1)$：
$x+2y = -1 + 2(1) = 1$，则 $y'' = -\frac{1}{1} = -1 < 0$，所以是极大值点，极大值为 $y = 1$。
公式：y''(1,-1)=1>0, y''(-1,1)=-1<0
提示：二阶导数大于0为极小值，小于0为极大值，注意代入时 $x+2y$ 的符号。
步骤 7/7
目标：给出极值
在点 $(1,-1)$ 处，$y=-1$ 为极小值；在点 $(-1,1)$ 处，$y=1$ 为极大值。
公式：极小值 $y=-1$ 在 $x=1$；极大值 $y=1$ 在 $x=-1$
提示：极值是指 $y$ 的值，不要与点的坐标混淆。
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